2025年5月13日
多元函数微分学（8）：极值与最值
摘要： 无约束极值 Femart引理：若\(f(x)\)在某点x_0处取得极值，且该点可偏导，则有\(\nabla f(x_0)=0\) 驻点（稳定点、临界点）：\(\nabla f=0\)的点，Femart引理说明，可导的极值点一定是驻点，但驻点不一定是极值点 极值点的二阶导判别法：若\(f\)在\(x_ 阅读全文
posted @ 2025-05-13 16:23 ykindred 阅读(155) 评论(0) 推荐(0)
多元函数微分学（7）：曲线和曲面
摘要： 我们知道一元向量值函数\(r:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^3\)可以表示一条曲线，可以研究曲线的切向量 正则曲线：若光滑曲线\(r(t)\)满足\(r'\neq 0\)，则称r为正则曲线 正则曲线的切向量：r的切向量\(\tau\)等于r的导数，即\(\tau 阅读全文
posted @ 2025-05-13 15:16 ykindred 阅读(44) 评论(0) 推荐(0)
多元函数微分学（6）：反函数定理和隐函数定理
摘要： 反函数定理：设函数\(f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n\)为线性变换，定义域为开集，在定义域上\(C^1\)光滑，在定义域上某点a处的Jacobi矩阵\(J_f\)可逆，则存在含a的开集V和含\(f(a)\)的开集W，使得\(f:V\rightarrow 阅读全文
posted @ 2025-05-13 14:29 ykindred 阅读(107) 评论(0) 推荐(0)
2025年5月12日
多元函数微分学（5）：Taylor公式
摘要： Lagrange中值定理：设\(f\)在凸区域U上连续可微，则对于任意\(x_1,x_2\in U\)有\(f(x_2)-f(x_1)=\nabla f(x_\tau)\cdot (x_2-x_1)\),其中\(x_\tau=x_1+\tau (x_2-x_1),\tau\in (0,1)\) 二阶 阅读全文
posted @ 2025-05-12 23:23 ykindred 阅读(67) 评论(0) 推荐(0)
多元函数微分学（4）：链式法则
摘要： 可以将一元函数微分的四则运算（包括线性性，leibniz公式），链式法则，反函数求导法推广到多元函数中. 四则运算：同一元函数 沿曲线导数的链式法则：欧氏空间上的曲线可看做\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R^n}\)的向量值函数，可以发现偏导数和方向导数都是沿曲线 阅读全文
posted @ 2025-05-12 13:49 ykindred 阅读(215) 评论(0) 推荐(0)
多元函数微分学（3）：高阶偏导数和Hesse矩阵
摘要： 高阶偏导数：一个函数的偏导继续求偏导，形如\(f_{xy}\)表示f先对x求偏导，再对y求偏导 逻辑上求偏导的次序并不能交换，但对于大多数初等函数而言，求偏导的次序交换并不影响结果，此处引出 Hesse矩阵：f在点a处的所有二阶偏导数所构成的方阵，记作\(\text{Hess} f(a)\)其中\( 阅读全文
posted @ 2025-05-12 02:24 ykindred 阅读(75) 评论(0) 推荐(0)
多元函数微分学（2）：微分和导数
摘要： 微分的核心思想：线性近似，对于一元函数来说，微分的定义是\(f(a+h)-f(a)=Lh+o(h),h\rightarrow 0\)，也就是用线性函数Lh来近似f的增量，此处L即f的导数\(f'(a)\) 该思想可以扩展到多元函数. 我们知道，欧氏空间R𝑛上的线性函数𝜔必然可写为如下形式\(\o 阅读全文
posted @ 2025-05-12 00:35 ykindred 阅读(134) 评论(0) 推荐(0)
2025年5月11日
多元函数微分学（1）：多元函数及Rn上的极限与连续
摘要： 多元函数：\(f:\mathbb{R}_n \rightarrow \mathbb{R}\) 即从n维向量集到实数集的映射，其定义域D应是n维欧式空间\(\mathbb{R}_n\)的一个子集 可以记作\(f(\bf{x})\) (x是向量) 多元向量值函数：\(f:\mathbb{R}_n \ri 阅读全文
posted @ 2025-05-11 20:33 ykindred 阅读(70) 评论(0) 推荐(0)