多元函数微分学（4）：链式法则

可以将一元函数微分的四则运算（包括线性性，leibniz公式），链式法则，反函数求导法推广到多元函数中.
四则运算：同一元函数

沿曲线导数的链式法则：欧氏空间上的曲线可看做\(f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R^n}\)的向量值函数，可以发现偏导数和方向导数都是沿曲线导数的特例，沿曲线导数也就是g(x)=f(r(x))的复合，即\(g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R^n}\rightarrow\mathbb{R}\)若f(x)在a点可微，r(t)在t0处可微，有g(t)=f(r(t))在t0处可微，且\(\frac{dg(t)}{dt}=\frac{f(r(t))}{dt}=\Sigma _{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j}|_{x_0}\frac{\partial x_j}{\partial t}|_{t_0}\)
也就是\(\frac{dg}{dt}=\frac{\partial g}{\partial x}\cdot\frac{dx}{dt}\),其中两个x的含义并不相同，左侧x是f的自变量向量，而右侧的x是f的分量函数，最后点乘.

与向量值函数的链式法则：类似地，若g(t)=f(x(t))\(f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}\)可微，\(x:\mathbb{R}^m\rightarrow \mathbb{R}^n\)可导,则复合函数\(g:\mathbb{R}^m\rightarrow\mathbb{R}\)可导，且\(\frac{\partial g}{\partial t}=\Sigma _{i=0} ^n \Sigma _{k=0} ^m \frac{\partial f}{\partial x_i} \frac{\partial x_i}{\partial t_j}\)

向量值函数与向量值函数复合的链式法则（多元函数一阶微分的形式不变性）：若\(f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m,g:\mathbb{R}^m\rightarrow \mathbb{R}^s, g(f):\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^m\rightarrow \mathbb{R}^s\),则\(d(g(f))=dg(df(x))\)证明利用Jacobi矩阵即可