多元函数微分学（3）：高阶偏导数和Hesse矩阵

高阶偏导数：一个函数的偏导继续求偏导，形如\(f_{xy}\)表示f先对x求偏导，再对y求偏导
逻辑上求偏导的次序并不能交换，但对于大多数初等函数而言，求偏导的次序交换并不影响结果，此处引出
Hesse矩阵：f在点a处的所有二阶偏导数所构成的方阵，记作\(\text{Hess} f(a)\)其中\(a_{ij}=\frac{\partial ^2f}{\partial x_i\partial x_j}\)即ij元表示f先对x_j求偏导再对x_i求偏导的结果，二阶偏导可换序说明Hesse矩阵是对角阵，这里需要介绍多元函数的光滑性

光滑性：若f在开集\(\Omega\)上的k阶偏导连续，称f在\(\Omega\)上\(C^k\)光滑，若\(\Omega\)不是开集，则要求存在包含\(\Omega\)的开集U，f在U上\(C^k\)光滑.
由可微性可知，f的k阶偏导连续说明f的低于k阶偏导可微，因此\(C^k\)光滑函数也叫做k阶连续可微函数

有如下定理
Clairaut-Schwarz-Jordan定理：若f的二阶偏导连续，则Hesse矩阵是对称阵，即高阶偏导可换序，证明利用微分中值定理即可
推论：若f\(C^k\)光滑，则f的k阶偏导可换序
通常，我们都默认函数充分光滑