多元函数微分学（6）：反函数定理和隐函数定理

反函数定理：设函数\(f:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R}^n\)为线性变换，定义域为开集，在定义域上\(C^1\)光滑，在定义域上某点a处的Jacobi矩阵\(J_f\)可逆，则存在含a的开集V和含\(f(a)\)的开集W，使得\(f:V\rightarrow W有连续可微的反函数f^{-1}:W\rightarrow V,其\text{Jacobi}矩阵为J_f ^{-1}\)

隐函数定理：若函数\(f\)在零点\(P(x_0,y_0)\)附近有连续偏导数，且\(f_y(x_0,y_0)\neq 0\)，则在\(P\)点附近，\(f(x,y)=0\)能确定某个可微的隐函数\(g(x)\)，使得\(f(x,g(x))=0,g(x_0)=y_0,\frac{dg}{dx}=-\frac{f_x(x,g(x))}{f_y(x,g(x))}\)

隐函数组定理：若\(f:\mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}^N\rightarrow \mathbb{R}^N\)满足\(f(x_0,y_0)=0,det \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y)\neq 0\)(即\(J_f\)可逆),其中x是\(n\times N\)矩阵，f和y是N维向量，则存在隐函数\(f(x,g(x))=0,g(x_0)=y_0,\frac{\partial g}{\partial x}=-(\frac{\partial f}{\partial y})^{-1}\frac{\partial f}{\partial x}\)