多元函数微分学（2）：微分和导数

微分的核心思想：线性近似，对于一元函数来说，微分的定义是\(f(a+h)-f(a)=Lh+o(h),h\rightarrow 0\)，也就是用线性函数Lh来近似f的增量，此处L即f的导数\(f'(a)\)
该思想可以扩展到多元函数.

我们知道，欧氏空间R𝑛上的线性函数𝜔必然可写为如下形式\(\omega\)(𝒙) = 𝒌⋅𝒙 = 𝑘1𝑥1 +𝑘2𝑥2 +⋯+𝑘𝑛𝑥𝑛,
进而有
多元函数的微分：若存在\(L\in \mathbb{R}_n\)使得Δ𝑓\(_a\)(𝒉) = 𝑳⋅𝒉+𝑜(𝒉), (𝒉 → 0),其中L是n维行向量，h是n维列向量，则称f(h)在a点可微，L·h称为f在a点的微分，记作\(df_a(h)=L·h\)
其中o(h)的含义是\(\frac{o(h)}{|h|}=0(h\rightarrow 0)\)
显然，\(h\rightarrow 0\)时\(f(a+h)-f(a)=\Delta f_a(h)=L·h+o(h)=0\),这说明f(x)在a处连续，也就是
可微必连续
多元函数的全微分代表的是其在a点的切平面.

下面我们来考察向量𝑳=(𝑙1,⋯,𝑙𝑛)究竟为何.经过简单计算可以得知\(l_i=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(\mathbf{a}+h\mathbf{e_i})-f(\mathbf{a})}{h}\),也就是\(L_i=(a_1,a_2,...x_i,...,a_n)\)时，一元函数\(f(L_i)\)的在a处的导数，也就是多元函数f在a点沿\(x_i\)方向的变化率，称为
偏导数：如上，若该极限存在，则称该极限为f在a点对\(x_i\)的偏导数，记作\(\frac{\partial f}{\partial x_i}|_a\)，若函数的每个偏导都存在，则称该函数在a点可偏导，或可导
\(\frac{\partial f}{\partial x_i}|_a\)的其他记号：\(f_{x_i},\partial _if,\nabla _if,D_if,f_i\)

由定义知道，
可微必可导
求某点的偏导数，可以先求出对应一元函数，再求导数，也可以先求出偏导函数，再求偏导函数在该点的值
上面定义中的\(L=(\partial_1f(a),\partial_2f(a),...,\partial_nf(a))\)称为f在a点的
梯度：记作\(\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}}|_a,\mathbf{grad} x,\partial f(a),Df(a),\nabla f(a)\)，梯度的物理意义是函数值在某点上升最快的方向

欧氏空间的坐标𝑥\(_j\)也可以看作函数，它把一个点变为它的第𝑗个坐标，称之为坐标函数.即\(f(a_1,a_2,a_3,...,x_j,...,a_n)=x_j\)从而可以把一般的多元函数转化为向量值多元函数
由上述过程还能知道，多元函数的微分等于行向量梯度和列向量自变量增量的内积，常表示为\(df=\Sigma_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_i}\text{d}x_i=\frac{\partial f}{\partial \mathbf{x}}\text{d}\mathbf{x}\)
对多元函数而言，可导并不意味着可微，因为可微要求函数在所有路径上极限存在，可导只要求沿坐标轴极限存在即可，但
连续可导必可微若\(f(x)\)所有偏导数均在𝒂点连续，则\(f(x)\)在𝒂点可微.证明利用拉格朗日中值定理即可

微分和偏导的几何意义：前面已经说过微分的集合意义是函数在某点的切平面，偏导的几何意义是函数在某点沿某坐标轴方向的变化率，由偏导的几何意义可以知道平面上的两个互相垂直的向量分别为\(T_x=(1,0,f_x(x_0,y_0))和T_y=(0,1,f_y(x_0,y_0))\)，法向量可以写成\(n=T_x\times T_y=(-f_x,-f_y,1)\),因此有
切平面方程：\(-f_x(x-x_0)-f_y(y-y_0)+(z-z_0)=0\)

方向导数：沿某一方向上的单位向量\(l\)的导数，其与偏导的定义类似，即\(\frac{\partial f}{\partial l}|_s=\lim_{s\rightarrow 0}\frac{f(a+sl)-f(a)}{s}=\frac{d}{ds}|_{s=0}f(a+sl)\)，偏导数是特殊的方向导数.
也可以这样理解方向导数，沿方向向量\(l\)垂直于平面\(xOy\)作一张竖直的平面，该平面与\(f\)的交集会产生一个一元函数，这个一元函数在该点的导数既是该函数的方向导数.
方向导数的计算公式：\(\frac{\partial f}{\partial l}=\nabla f·l=df(l)\)
这说明函数的偏导数本身就蕴含了所有方向导数的信息
梯度的几何意义：梯度方向是函数增加最快的方向；负梯度方向是函数减少最快的方向，垂直于梯度方向函数变化率为零;梯度的模反映了这种变化率
的大小.
向量值函数的可微性：对于向量值函数\(f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m\),若存在\(m\times n\)矩阵J使得\(f_a(h)=J·h+o(h),h\rightarrow 0\)，则称该向量值函数可微，矩阵J称为
Jacobi矩阵：记为\(J_f(a)或f'(a)\),如果用分量来表示,则易见函数𝒇可微等价于其所有分量函数𝑓1,⋯,𝑓𝑚都可微，\(J_f(a)=(c_{ij})_a=(\frac{\partial f_i}{\partial x_j})_a\),m=1时向量值函数为一般多元函数，此时Jacobi矩阵表示该多元函数的梯度，m=n=1时,该函数为一元函数，Jacobi矩阵表示该函数的导数
利用Jacobi矩阵可以对多元函数做局部线性近似