多元函数微分学(1):多元函数及Rn上的极限与连续

多元函数\(f:\mathbb{R}_n \rightarrow \mathbb{R}\)
即从n维向量集到实数集的映射,其定义域D应是n维欧式空间\(\mathbb{R}_n\)的一个子集
可以记作\(f(\bf{x})\)
(x是向量)

多元向量值函数\(f:\mathbb{R}_n \rightarrow \mathbb{R}_m\)
空间中的参数曲线是一元向量值函数𝒓=(𝑥(𝑡),𝑦(𝑡),𝑧(𝑡))∶𝐼→R3,其中𝐼⊂R是区间.类似地,空
间中的参数曲面可以看作二元向量值函数𝒓=(𝑥(𝑢,𝑣),𝑦(𝑢,𝑣),𝑧(𝑢,𝑣)),若
记参数(𝑢,𝑣)的变化范围是𝐷⊂R2,则该二元向量值函数是𝒓∶𝐷→R3.

线性变换是常见的多元向量值函数.
多元函数也可看作是多元向量值函数

可将𝒇写为分量的形式
\(f\)(𝒙)=(𝑓1(𝒙),𝑓2(𝒙),⋯,𝑓𝑚(𝒙))
其中𝑓1,𝑓2,⋯,𝑓𝑚∶𝐷→R都是𝑛元函数,称为𝒇的分量函数.

欧式空间的拓扑(待补充)

重极限:向量x在某一定义域内趋于向量x0时,函数值f趋于L
记作\(\lim_{x\rightarrow x0}f(x)=L\)

也可用\(\epsilon - \delta\)语言描述
可仿照一元函数,定义\(\lim_{x\rightarrow x0}f(x)=\infty\),\(\lim_{|x|\rightarrow \infty}f(x)\)以及\(\lim_{(x,y)\rightarrow (b,\infty)}f(x)\)的广义极限

累次极限\(\lim_{x\rightarrow a}lim{y\rightarrow b}\)\(\lim_{x\rightarrow a}lim{y\rightarrow b}\)
累次极限并不一定相等,并且与重极限意义并不相同,累次极限的存在性和重极限的存在性并无瓜葛,但若累次极限和重极限均存在,则它们相同

证明重极限等于具体值:平移法,极坐标变换法
证明重极限不存在:
(1)证明某两个路径下重极限不相等
(2)证明累次极限无法换序(同(1))(能换序不能说明重极限存在)
(3)证明某一路径下极限不存在,或某一累次极限不存在

向量值函数的连续性:对于向量x0,其在定义域D内的任何邻域中的向量x都有\(|f(x)-f(x_0)|<\epsilon\)
函数在定义域内的孤立点处必连续

与一元函数类似,多元连续函数经过有限次四则运算和复合运算后,连续性保留

多元连续函数的性质:我们知道道闭区间上的连续函数具有最值性、介值性、一致连续性,它们的确可以推广到多元连续函数上.但请注意,对于向量值函数而言,它们未必有意义.

最值性. 有界闭集上的连续函数一定有界,并且能取到最大值和最小值.
介值性. 连通集上的连续函数,能取到任何两个函数值之间的所有值,即它的值域是连续区间.
一致连续性.有界闭集上的连续函数一定一致连续.

posted @ 2025-05-11 20:33  ykindred  阅读(70)  评论(0)    收藏  举报