多元函数微分学(8):极值与最值
无约束极值
Femart引理:若\(f(x)\)在某点x_0处取得极值,且该点可偏导,则有\(\nabla f(x_0)=0\)
驻点(稳定点、临界点):\(\nabla f=0\)的点,Femart引理说明,可导的极值点一定是驻点,但驻点不一定是极值点
极值点的二阶导判别法:若\(f\)在\(x_0\)处二阶连续可微,且\(x_0\)是\(f\)的驻点,则:
\(若H_f(x_0)正定,则x_0是f的严格极小值点\)
\(若H_f(x_0)负定,则x_0是f的严格极大值点\)
\(若H_f(x_0)不定,则x_0不是f的极值点,称x_0为鞍点\)
求极值点时,除了驻点,还要考虑不可微点
条件极值
可以这么表示:\(在\phi (x,y)=0的条件下,求F(x,y)的极值/最值\),或写为\(\min f(x,y), \text{s.t.}\phi (x,y)=0\),如果能从\(\phi (x,y)=0\)解出\(y=y(x)\),那么原问题可转化为无约束极值问题\(\min f(x,y(x))\)
Lagrange乘数法:
\(1.设Lagrange函数L(x,y,\lambda)=F(x,y)-\lambda\phi (x,y)\)
\(2.求出Lagrange函数的驻点\)
\(3.根据问题本身的性质,考虑这些驻点是否为极值点\)
求多条件极值时,对每个条件设独立的\(\phi_1,\cdots,\phi_n\)即可