多元函数微分学（7）：曲线和曲面

我们知道一元向量值函数\(r:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^3\)可以表示一条曲线，可以研究曲线的切向量
正则曲线：若光滑曲线\(r(t)\)满足\(r'\neq 0\)，则称r为正则曲线
正则曲线的切向量：r的切向量\(\tau\)等于r的导数，即\(\tau = r'(t)\)
正则曲线的切线：设曲线\(r(t)=(\alpha (t),\beta (t),\gamma (t)),r(t_0)=(x_0,y_0,z_0)\),其切线可以这么表示：\(\frac{x-x_0}{\alpha '(t_0)}=\frac{y-y_0}{\beta '(t_0)}=\frac{z-z_0}{\gamma '(t_0)}\)
正则曲线的法平面：与切线垂直的平面，可以这么表示：\(\tau \cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0\)

正则曲面：若\(曲面r:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R^3}，r=(\alpha (u,v),\beta(u,v),\gamma (u,v))满足r_u \times r_v\neq 0\)，则称r为正则曲面，\(r_u \times r_v\)为r的法向量,沿法向量的直线称为法线，垂直于法向量的平面称为切平面

非参数曲线和曲面
曲面：若\(\nabla F(x,y)\neq 0\),则\(\nabla F(x,y)\)就是曲线\(F(x,y)=0\)的法向量,进而有曲线的切线方程\((F_x,F_y)\cdot (x-x_0,y-y_0)=0\),法线方程\((-F_y,F_x)\cdot (x-x_0,y-y_0)=0\)

曲线：可以这样表示：\(F(x,y,z)=G(x,y,z)=0\),即两曲面的交线，其切向量即为两曲面法向量的叉积，即\(\nabla F \times \nabla G\)