2026新高考二卷数学真题及解析 | 多选题+填空题
2026新高考二卷数学多选题+填空题解析
前情概要
博客的真题解答者是采用豆包的解答，有空再依次验证并添加自己的解答和感悟。本来是为了少打字以及补充不同的求解思路采用豆包的解答，结果 AI 的幻觉很大，每次给出的答案往往还不一样，修正判断倒是费时费力了不少。利用端午假期，逐字逐句修改、调整、补充，并添加静雅斋的相关引申链接和配套动态课件，添加特殊的显示格式，和自我感悟，欢迎批评指正。2026-06-24，修正完成。
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- 相关说明：2026新高考一卷、二卷数学真题的解析者是 高考 100 网站的熊老师，在此致敬！请注意，有些答案和标准答案有出入。
二、多项选择题
（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
\(A\). 点 \(A\) 的坐标为 \((-3,-4)\)
\(B\). \(k=9\) 时，圆 \(A\) 与 \(x\) 轴相切
\(C\). 当 \(k=-11\) 时，圆 \(A\) 与圆 \(O\) 相切
\(D\). 当圆 \(A\) 与圆 \(O\) 相交时，两交点所在的直线方程为 \(6x+8y-k-2=0\)
解析：先将圆 \(A\) 配方整理成标准式：\((x-3)^2\) \(-9\) \(+\) \((y-4)^2\) \(-16\) \(=\) \(-k\)，
也即 \((x-3)^2\) \(+\) \((y-4)^2\) \(=\) \(25-k\)，则圆心 \(A(3,4)\)，半径 \(r_{_A}=\sqrt{25-k}\) (\(k<25\))，
圆 \(O\) 的圆心 \(O(0,0)\)，半径 \(r_{_O}\)\(=\)\(1\)，\(|OA|\)\(=\)\(\sqrt{3^2+4^2}\)\(=\)\(5\)，由此判断选项：
对选项A：圆心\(A(3,4)\)，不是\((-3,-4)\)，A 错误； 延申阅读 配方法；
对选项B：\(k\)\(=\)\(9\)时，\(r_{_A}\)\(=\)\(\sqrt{25-9}\)\(=\)\(\sqrt{16}\)\(=\)\(4\)，则圆 \(A\) 与 \(x\) 轴相切，B正确；
对选项C：\(k\)\(=\)\(-11\)时，\(r_{_A}\)\(=\)\(\sqrt{25-(-11)}\)\(=\)\(\sqrt{36}\)\(=\)\(6\)，\(|OA|\)\(=\)\(5=\)\(r_{_A}-r_{_O}\)\(=\)\(6-1\)，两圆内切，属于相切，C正确；
对选项D：两圆相交时，两交点所在的直线方程，即为两圆的公共弦方程【求解原理】，两圆方程相减：
\((x^2+y^2-6x-8y+k)\)\(-\)\((x^2+y^2-1)\)\(=0\)，即 \(-6x-8y+k+1=0\) \(\implies\) \(6x+8y-k-1=0\)，
而题干给定的却是 \(6x+8y-k-2\)\(=\)\(0\)，D错误，综上所述，答案选：\(BC\)；
稍微带点难度的题目，中规中矩的涉及圆的相关知识的考查，运算和思维都有考查，两圆的公共弦方程的求解对一部分学生有难度。
解析：对选项A： 由\(2a_3\)\(=\)\(a_1\)\(+\)\(a_2\)，结合等比数列中 \(a_3\)\(=\)\(a_1q^2\)， \(a_2\)\(=\)\(a_1q\)，\(a_1>0\) ，
则有 \(2q^2=1+q\)，化简整理，即 \((2q+1)(q-1)=0\)，又 \(q\ne1\)，故 \(q\)\(=\)\(-\dfrac12\)，选项 A 正确
对选项B：【纯理论解法】由等比数列求和公式可得，\(S_n\)\(=\)\(\dfrac{a_1[1-(-\dfrac12)^n]}{1-(-\dfrac12)}\)\(=\)\(\dfrac{2a_1}{3}[1-(-\dfrac12)^n]\)
基于此，分析 \(S_n\) 的范围： 由于 \((-\dfrac12)^n\) \(\in\) \([-\dfrac12,\dfrac14]\) [1]，则 \(-(-\dfrac12)^n\) \(\in\) \([-\dfrac14,\dfrac12]\)
也即 \(1-(-\dfrac12)^n\) \(\in\) \([\dfrac12,\dfrac54]\)，故 \(S_n\)\(=\)\(\dfrac{2a_1}{3}\) \(\cdot\) \(t\) ，且 \(t\in\)\([\dfrac12,\dfrac54]\)
最小值\(S_{min}\)\(=\)\(\dfrac{2a_1}{3}\) \(\cdot\) \(\dfrac12\)\(=\)\(\dfrac13a_1\)\(<\)\(\dfrac23a_1\)，B 错误；
【B选项的特殊值巧妙解法】：取 \(n=2\)，\(S_2\) \(=\) \(a_1\) \(+\) \(a_2\) \(=\) \(a_1\) \(-\) \(\dfrac{1}{2}a_1\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}a_1\) \(<\) \(\dfrac{2}{3}a_1\)，B 错误；
对选项C：由于 \(S_{n+2}=S_n+a_{n+1}+a_{n+2}\)，\(S_{n+1}=S_n+a_{n+1}\)，
则 \(2S_{n+2}-S_{n+1}-S_n\) \(=\) \(2(S_n+a_{n+1}+a_{n+2})-(S_n+a_{n+1})-S_n\)
\(=2a_{n+1}+2a_{n+2}-a_{n+1}=a_{n+1}+2a_{n+2}\) \(=\) \(a_{n+1}+2\cdot\) \(q\) \(\cdot\) \(a_{n+1}\)
\(=a_{n+1}+2\cdot(-\dfrac12a_{n+1})=a_{n+1}-a_{n+1}=0\)，即 \(2S_{n+2}=S_{n+1}+S_n\)，C正确；
【C选项的巧妙解法】：\(2S_{n+2}\) \(-\) \(S_{n+1}\) \(-\) \(S_n\) \(=\) \((S_{n+2}\) \(-\) \(S_{n+1})\) \(+\) \((S_{n+2}\) \(-\) \(S_n)\) \(=\) \(a_{n+2}+a_{n+2}+a_{n+1}\) \(=\)
\(a_{n+1}\) \(+\) \(2a_{n+2}\) \(=\) \(a_{n+1}\)\((1+2q)\) \(=\) \(a_{n+1}\) \(\cdot\) \(0\) \(=\) \(0\)，C正确；
对选项D：由于 \(S_n\)\(=\)\(\dfrac{2a_1}{3}[1-(-\dfrac12)^n]\)\(=\)\(\dfrac{2a_1}{3}\)\(-\) \(\dfrac{2a_1}{3}(-\dfrac12)^n\)
对数列 \(\{S_n\}\) 求和 ，则有
\(\sum\limits_{k=1}^n S_k\) \(=\) \(\sum\limits_{k=1}^n\)\([\dfrac{2a_1}{3}\) \(-\) \(\dfrac{2a_1}{3}\)\((-\dfrac12)^k]\)
\(=n\cdot\dfrac{2a_1}{3}-\dfrac{2a_1}{3}\sum\limits_{k=1}^n(-\dfrac12)^k\)
\(=\dfrac{2n}{3}a_1-\dfrac{2a_1}{3}\times\dfrac{-\dfrac12[1-(-\dfrac12)^n]}{1+\dfrac12}\)
\(\sum\limits_{k=1}^n S_k=\dfrac{2n}{3}a_1-\dfrac{2a_1}{3}\times[-\dfrac13(1-(-\dfrac12)^n)]\)
\(=\dfrac{2n}{3}a_1+\dfrac{2a_1}{9}[1-(-\dfrac12)^n]\)
由于 \((-\dfrac12)^n\) \(\in\) \([-\dfrac12,\dfrac14]\)，故 \(1\) \(-\) \((-\dfrac12)^n\) \(>\) \(0\) 恒成立，\(a_1>0\)，故 \(\sum\limits_{k=1}^n\) \(S_k\) \(>\) \(\dfrac{2n}{3}a_1\)， 则 D 正确；
答案：\(ACD\) ， 延申学习：\(\sum\)含义及相关运算
这个题目的思维难度和运算难度都是陡然上升，和上一题相比，风格差异不是一般的大。学生对数列这一块的学习总是懵懵懂懂的，再加上等比数列求和、摆动数列卡范围、等比数列的和数列再求和、不等式的放缩等，多个难点都集中到一个题目中了。要是有学生只计算验证个选项 A，直接放弃其他的选项，到也不失为聪明之举。
\(A.\) 抛物线 \(E\) 的准线方程为 \(x=-2\)
\(B.\) 当直线 \(l\) 与抛物线 \(E\) 无交点时，\(k>\sqrt{2}\)
\(C.\) 若直线 \(l\) 与抛物线 \(E\) 相交于唯一 一点 \(B\)，则抛物线 \(E\) 的焦点在直线 \(AB\) 上
\(D.\) 当 \(k=2\) 时，\(\triangle ABC\) 面积的最小值为 \(\dfrac{\sqrt{3}}{15}\)
解析：对于选项 A：抛物线 \(y^2=8x\)，\(2p=8\)，\(p=4\)，焦点 \((2,0)\)，准线 \(x=\)\(-\dfrac{p}{2}\)\(=-2\)，A 正确
本题目配套的动态课件，费老鼻子劲了！
制作软件： Desmos 在线版本，已经保存在云端，备查。
部分课件的制作细节备忘： 取点 \(A(2m^2,4m)\)，点 \(B\) 和点 \(C\) 的动态坐标，是依托豆包计算得到的。非常复杂，贴出来你可以看看。直线的斜率为动态参数 \(k\)，\(m\) 是动态参数。
\(B\bigg(\dfrac{2m^2+4mk-k^2}{k^2+1}-\dfrac{|k(2m^2+1)-4m|}{\sqrt{3}(k^2+1)},\dfrac{k(2m^2+4mk+1)}{k^2+1}-\dfrac{k|k(2m^2+1)-4m|}{\sqrt{3}(k^2+1)}\bigg)\)
\(C\bigg(\dfrac{2m^2+4mk-k^2}{k^2+1}+\dfrac{|k(2m^2+1)-4m|}{\sqrt{3}(k^2+1)},\dfrac{k(2m^2+4mk+1)}{k^2+1}+\dfrac{k|k(2m^2+1)-4m|}{\sqrt{3}(k^2+1)}\bigg)\)
并且用命令格式 distance(A,B) 验证了三个距离，能确保等边三角形的成立。
对于选项 B：直线 \(l\) 过 \((-1,0)\)，\(k>0\)，方程 \(y=k(x+1)\)，联立抛物线：
则 \([k(x+1)]^2=8x\)，即 \(k^2x^2+(2k^2-8)x+k^2=0\)
判别式 \(\Delta\) \(=\) \((2k^2-8)^2\)\(-4\cdot\)\(k^2\)\(\cdot\)\(k^2\)
\(=4k^4-32k^2+64-4k^4\) \(=-32k^2+64\)
由于二者无交点，则满足条件 \(\Delta<0\)，即 \(-32k^2+64<0\) \(\implies\) \(k^2>2\)，\(k>0\)，故 \(k>\sqrt{2}\)，B正确
对于选项 C：相切时 \(\Delta=0\)，\(k=\sqrt{2}\)，切点为 \(B\)，直线 \(l:y=\sqrt{2}(x+1)\)
联立得 \(2x^2+(4-8)x+2=0\) \(\implies\) \(2x^2-4x+2=0\) \(\implies\) \(x=1\)，\(y=\sqrt{2}(2)=2\sqrt{2}\)，则 \(B(1,2\sqrt{2})\)，
\(A\) 是抛物线上到直线 \(l\) 距离等于 \(BC\) 的点，\(\triangle\) \(ABC\) 等边，\(AB\) 垂直于\(l\)，\(l\) 斜率为 \(\sqrt{2}\)，\(k_{AB}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)
则 \(AB\) 为方程：\(y-2\sqrt{2}=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}(x-1)\)，代入焦点 \((2,0)\) 验证：
左边 \(0-2\sqrt{2}\) \(=\) \(-2\sqrt{2}\)，右边 \(-\dfrac{1}{\sqrt{2}}(2-1)\) \(=\) \(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)，两边不等，焦点不在 \(AB\) 上，C错误
对于选项 D：\(k=2\) 时，直线 \(l:y=2(x+1)\)，设 \(A(\dfrac{y_0^2}{8},y_0)\)，
点 \(A\) 到直线 \(2x-y+2=0\) 的距离为 \(d\)\(=\)\(\dfrac{|2\cdot\dfrac{y_0^2}{8}-y_0+2|}{\sqrt{4+1}}\) \(=\) \(\dfrac{|\dfrac{y_0^2}{4}-y_0+2|}{\sqrt{5}}\)
等边三角形的边长 \(a\)\(=\)\(\dfrac{2d}{\sqrt{3}}\)，面积 \(S=\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\) \(=\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot\dfrac{4d^2}{3}\) \(=\) \(\dfrac{d^2}{\sqrt{3}}\)
令\(f(y_0)\) \(=\) \(\dfrac{y_0^2}{4}-y_0+2\) \(=\) \(\dfrac14(y_0^2-4y_0+8)\) \(=\) \(\dfrac14[(y_0-2)^2+4]\)，则 \(f(y_{0})\) 最小值为 \(1\)，
故 \(d_{min}\) \(=\) \(\dfrac{1}{\sqrt{5}}\)，\(S_{min}\) \(=\) \(\dfrac{(\dfrac{1}{\sqrt{5}})^2}{\sqrt{3}}\) \(=\) \(\dfrac{1}{5\sqrt{3}}\) \(=\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{15}\)，D正确
答案：\(ABD\)
到目前为止，整张试卷的第二个难点，解析几何题目是学生最害怕的题目，比害怕三角函数和数列的程度还要深，前两个选择支难度中等，后两个达到极致了。主要是难度和运算都大，稍不注意，就先陷到这个题目中，浪费了时间精力，还没有正确结果。
三、填空题
（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
解法1：先求公差再求和，
\(a_4\)\(=\)\(a_1+3d\)，\(5=\)\(-1+3d\) \(\implies\) \(3d=6\) \(\implies\) \(d=2\)
\(S_6\)\(=\)\(6a_1+\)\(\dfrac{6\times5}{2}d\) \(=6\times(-1)\)\(+15\times2\) \(=-6\) \(+\) \(30=24\)
解法2：利用等差数列性质求和，
\(a_1=-1\)，\(a_4=5\)，\(a_1+a_6\)\(=\)\(a_3+a_4\)，\(a_4\)\(=\)\(a_1+3d\)，\(a_6=\)\(a_1+5d\)，
\(S_6\)\(=\)\(\dfrac{6(a_1+a_6)}{2}\)\(=\)\(3(a_1+a_6)\)
\(d=2\)， \(a_6=-1+10=9\)，则 \(S_6=3(-1+9)=24\)
答案：\(24\)
常规题目，有点送分的味道。
分析1：先将函数 \(f(x)\) 有两个零点问题[从数的角度刻画]，等价转化为方程 \(2^x\) \(+\) \(2^{2-x}\) \(=\) \(m\) 有两个实数根问题[从数的角度刻画]，再次等价转化为函数 \(y\) \(=\) \(2^x\) \(+\) \(2^{2-x}\) 和 \(y\) \(=\) \(m\) 的图像有两个交点问题[从形的角度描述]，到此难点转化为重点研究新函数 \(y\) \(=\) \(2^x\) \(+\) \(2^{2-x}\) 的性质和图像问题。
而为了研究新函数 \(y\) \(=\) \(2^x\) \(+\) \(2^{2-x}\) 的图像和性质，我们常常这样思考，如果能依托已经有的函数模型，再好不过了，本题目就能依托对勾函数来研究；如果不能怎么办，那就用导数工具，一步一步的研究定义域、单调性，极值、最值，直到能做出函数的大致简图。不论题目的难易程度，这样的解题思维框架你要有。
解法1️⃣：故先重点变形处理新函数，令 \(t\) \(=\) \(2^x\) \(>\) \(0\)，则 \(2^{2-x}\) \(=\) \(\dfrac{4}{t}\)，则有：\(y\) \(=\) \(t\) \(+\) \(\dfrac4t\)， \(t>0\)，
对勾函数 \(t\) \(+\) \(\dfrac4t\) \(\ge\) \(2\sqrt{t\cdot\dfrac4t}\) \(=\) \(4\)，当 \(t=2\) 即 \(x=1\) 取到最小值 \(4\)，
又当 \(t\) \(\to\) \(0^{+}\) 或 \(t\) \(\to\) \(+\infty\) 时，\(t\) \(+\) \(\dfrac4t\) \(\to\) \(+\infty\)
\(f(x)\) 有两个零点等价于 \(t\) \(+\) \(\dfrac4t\) \(=\) \(m\) 有两个不同正根，故 \(m>4\) ，答案：\((4,+\infty)\) .
分析2：上述解法是豆包给出的，但我总感觉这个函数眼熟，好像在哪里见过似的，查看我的博客，在 悬链线函数相关 中找到了相关内容。在我的教学体验中，对函数 \(y\) \(=\) \(e^x\) \(+\) \(e^{-x}\) 要高度关注，她与悬链线函数有关，而且是平时模考的高频考查函数，将底数变更为 \(2\)，就是本题目所依托的函数，首先要非常清楚函数 \(y\) \(=\) \(2^x\) \(+\) \(2^{-x}\) 的图像和性质，偶函数，对称轴是 \(y\) 轴，图像的最低点为 \((0,2)\) 点，图像的样子和 \(y\) \(=\) \(x^2\) \(+\) \(2\) 非常的相似，清楚了这一点，我们做这样的变换即可。
解法2️⃣：依托上述解法，我们重点说如何做函数 \(y\) \(=\) \(2^x\) \(+\) \(2^{2-x}\) 的图像做法。先做函数 \(g(x)\) \(=\) \(2^x\) \(+\) \(2^{-x}\) 的图像，类似 \(y\) \(=\) \(x^2\) \(+\) \(2\) 的图像，对称轴是 \(y\) 轴，也是开口向上，偶函数，图像的样子应该比后者更陡峭。或者取 \(x\) \(=\) \(\pm2\) 通过描点会得到更精确的图像简图。
然后给这个函数乘以 \(2\)，函数的样子的变化是，最低点由原来的 \((0,2)\) 上移到 \((0,4)\) ，且左右两支的开口会更小一些，这时候得到 \(h(x)\) \(=\) \(2\) \(\cdot\) \((2^x+2^{-x})\) \(=\) \(2^{x+1}\) \(+\) \(2^{1-x}\)，然后将其右移 \(1\) 个单位，得到 \(h(x-1)\) \(=\) \(2^x\) \(+\) \(2^{2-x}\) 的图像，即所求函数 \(2^x\) \(+\) \(2^{2-x}\) 的图像是个轴对称图像，开口向上，最低点为 \((1,4)\)，即此函数的最小值为 \(4\)，故要使得 \(2^x\) \(+\) \(2^{2-x}\) \(=\) \(m\) 的图像有两个不同交点，必须 \(m\)\(>\)\(4\) ，答案：\((4,+\infty)\) .
❶ 如果有相关的题型积累和函数储备，那么这个题目的难度甚至都够不上中档题。
❷ 学习过程中必须要有意识的积累一些基本的题目类型[比如函数的零点问题]，和相关的转化划归能力[比如函数的零点问题 \(\iff\) 方程有根问题 \(\iff\) 两个函数的图像有交点问题]。参阅： 转化与化归思想
❸ 必须有意识的储备一些常用常见的函数，仅仅储备基本初等函数的图像已经远远不够了，应该在其基础上，再增加储备，比如 \(y\) \(=\) \(|x|\)，\(y\) \(=\) \(2^{|x|}\)，\(y\) \(=\) \(2^x\) \(\pm\) \(2^{-x}\)，\(y\) \(=\) \(x\) \(\pm\) \(\dfrac{k}{x}\)，以及 \(y=ax+\dfrac{b}{x}\) 等等。不妨参阅： 高中数学中需要重点关注的函数和图像
❹ 甚至常用的不等关系也要储备的。比如 函数与导数中常用的函数和不等关系，到此，如果你还有兴趣，不妨在静雅斋目录中看看我整理的函数部分导数部分的相关内容。
❺ 本问题还涉及一个函数得拆分问题，比如将本题目拆分为 \(2^x=m-2^{2-x}\)，就没有拆分为 \(2^x+2^{2-x}=m\) 好，因为后者从图像得角度好处理，更多涉及函数得拆分，请参阅 函数的拆分|技能与方法 .
解析：由球体体积公式，\(V_{O}\) \(=\) \(\dfrac43\) \(\pi\) \(\cdot\) \(R^3\) \(=\) \(4\sqrt{3}\pi\)
即 \(\dfrac43\) \(R^3\) \(=\) \(4\sqrt{3}\) \(\implies\) \(R^3\) \(=\) \(3\sqrt{3}\) \(=\) \((\sqrt{3})^3\) \(\implies\) \(R\) \(=\) \(\sqrt{3}\)
又由 \(DA\) \(=\) \(DB\) \(=\) \(DC\)，则点 \(D\) 在底面 \(\triangle\) \(ABC\) 的垂线上，又由于 \(\triangle\) \(ABC\) 为正三角形，故此三棱锥为正三棱锥 \(D-ABC\)，点 \(D\) 在底面 \(ABC\) 的垂足是 正三角形 \(ABC\) 的中心[四心合一的点]，
设 \(\triangle\) \(ABC\) 外接小圆半径为 \(r\)，\(D\) 到平面 \(ABC\) 的距离为 \(h\)，再设正三角形边长为 \(a\)，则 \(r\) \(=\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}a\)，
则 \(DA^2\) \(=\) \(r^2\) \(+\) \(h^2\) \(\implies\) \(2\) \(=\) \(r^2\) \(+\) \(h^2\)
又由于球心在 \(D\) 与底面圆心 \(O_{1}\) 的连线上，球半径 \(R\) \(=\) \(\sqrt{3}\)，则满足 \(R^2\) \(=\) \(r^2\) \(+\) \(|R-h|^2\)
即 \(3\) \(=\) \(r^2\) \(+\) \((\sqrt{3}-h)^2\)，
联立得方程组：\(\begin{cases}r^2+h^2=2\\r^2+(\sqrt{3}-h)^2=3\end{cases}\)
解得，\(h\) \(=\) \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)， 又 \(r^2\) \(=\) \(2-h^2\) \(=\) \(2-\dfrac13\) \(=\) \(\dfrac53\)，
则 \(r\) \(=\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}a\) \(\implies\) \(r^2\) \(=\) \(\dfrac{a^2}{3}\)，\(\dfrac{a^2}{3}\) \(=\) \(\dfrac53\) \(\implies\) \(a^2\) \(=\) \(5\)
则正三角形面积 \(S_{\triangle ABC}\) \(=\) \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}a^2\) \(=\) \(\dfrac{5\sqrt{3}}{4}\)
答案：\(\dfrac{5\sqrt{3}}{4}\) .
本题目难度中等偏上，建议将球内接正四面体、球内接正三棱锥、球内接正方体等模型中的相关元素要非常清楚。球体与正四面体切接
令 \(S_n\) 中的这部分 \(c_{n}\) \(=\) \((-\dfrac12)^n\) 来研究，它其实是个摆动数列，给 \(n\) 赋值，当 \(n=1\) 时，值为 \(-\dfrac{1}{2}\)，当 \(n=2\) 时，值为 \(\dfrac{1}{4}\)，当 \(n=3\) 时，值为 \(-\dfrac{1}{8}\)，当 \(n=4\) 时，值为 \(\dfrac{1}{16}\)，等等，我们就能知道，这个数列 \(\{c_{n}\}\) 的值域包含于区间 \([-\dfrac12,\dfrac14]\)，\([c_{n}]_{\min}\) \(=\) \(-\dfrac{1}{2}\)，\([c_{n}]_{\max}\) \(=\) \(\dfrac{1}{4}\)， ↩︎
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