悬链线函数相关

前言

将函数 \(f(x)=e^x\pm e^{-x}\) 整体当成一个模型函数，熟练掌握其图像的性质，会非常有助于解题。现在的新高考中可以大胆的说这样的话了，这样的函数其实就是悬链线函数中的一部分.

相关储备：\(\left(e^x+e^{-x}\right)'=e^x-e^{-x}\)；\(\left(e^x-e^{-x}\right)'=e^x+e^{-x}\)；

变形形式：\(\cfrac{1}{2^x}-2^x=2^{-x}-2^x=\cfrac{1-4^x}{2^x}=\cfrac{1-2^{2x}}{2^x}\)； \(\qquad\) \(\cfrac{4^x-1}{2^x}=\cfrac{4^x}{2^x}-\cfrac{1}{2^x}=2^x-2^{-x}\)；

模型思考

• 熟练掌握函数：\(g(x)=e^x+e^{-x}\)的相关性质，那么碰到研究函数\(f(x)=e^{x-1}+e^{1-x}\)，我们就可以这样思考：

分析：函数\(f(x)=e^{x-1}+e^{1-x}=g(x-1)\)，这样我们要做函数\(f(x)\)的图像，只需要先做\(g(x)\)图像，再做函数\(g(x-1)\)的图像。

• 研究函数\(f(x)=e^x+e^{2-x}\)，先变形为\(f(x+1)=e^{x+1}+e^{1-x}=e\cdot(e^x+e^{-x})\)， 备注给偶函数乘以常数得到的结果还是偶函数；同时，由于函数 \(y=e^x+e^{-x}\) 的图像类似开口向上的抛物线，最小值为 \(2\)，故 \(f(x+1)\) 的最小值为 \(2e\)，

故\(f(x+1)\)是偶函数，对称轴为\(x=0\)，故函数\(f(x)\)关于直线\(x=1\)对称。或者由已知\(f(x)=e^x+e^{2-x}\)，得到\(f(2-x)=e^{2-x}+e^{2-(2-x)}=e^x+e^{2-x}=f(x)\)，故函数\(f(x)\)关于直线\(x=1\)对称。

典例剖析

【2022高三数学三轮模拟冲刺题】意大利画家达 \(\cdot\) 芬奇提出： 固定项链的两端， 使其在重力的作用下自然下垂， 那么项链所形成的曲线是什么? 这就是著名的 “悬链线问题”。 双曲余弦函数是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为 \(\cosh x\)\(=\)\(\cfrac{e^{x}+e^{-x}}{2}\)， 相应的双曲正弦函数的表达式为 \(\sinh x\)\(=\)\(\cfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}\)。 设函数 \(f(x)\)\(=\)\(\cfrac{\sinh x}{\cosh x}\)， 若实数 \(m\) 满足不等式 \(f\left(m^{2}\right)\)\(+\)\(f(4m-5)>0\)， 则 \(m\) 的取值范围为 【\(\qquad\)】

$A.(-1,5)$ $B.(-5,1)$ $C.(-\infty,-1) \cup(5,+\infty)$ $D.(-\infty,-5) \cup(1,+\infty)$

解析：由题意可知， \(f(x)=\cfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}\) 的定义域为 \(R\)，

因为 \(f(-x)=\cfrac{e^{-x}-e^{x}}{e^{-x}+e^{x}}=-f(x)\)， 所以 \(f(x)\) 为奇函数，

因为 \(f(x)=\cfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}=\cfrac{(e^{x}-e^{-x})\cdot e^x}{(e^{x}+e^{-x})\cdot e^x}=\cfrac{e^{2 x}-1}{e^{2 x}+1}=1-\cfrac{2}{e^{2x}+1}\)，

且 \(g(x)=\cfrac{2}{e^{2x}+1}\) 在 \(R\) 上为减函数，

所以由复合函数的单调性可知 \(f(x)=1-\cfrac{2}{e^{2 x}+1}\) 在 \(R\) 上为增函数，

因为 \(f\left(m^{2}\right)+f(4m-5)>0\)， 所以 \(f\left(m^{2}\right)>-f(4m-5)=f(5-4m)\)，

所以 \(m^{2}+4m-5>0\)， 所以 \(m>1\) 或 \(m<-5\)，故选 \(D\) .

【2025届高三数学月考二第9题】"固定项链的两端, 使其在重力的作用下自然下垂, 项链所形成的曲线是什么? "这就是意大利画家列奥纳多达芬奇曾提出的著名的"悬链线问题"，后人给出了悬链线的函数表达式 \(f(x)=a\cosh\cfrac{x}{a}\)，其中 \(a\) 为悬链线系数，\(\cosh x\) 称为双曲余弦函数，其函数表达式 \(\cosh x=\cfrac{e^x+e^{-x}}{2}\)，相应地，双曲正弦函数的函数表达式为 \(\sinh x=\cfrac{{e}^x-{e}^{-x}}{2}\)，则【\(\qquad\)】

$A$.$\cosh 2 x=\cosh ^2 x+\sinh ^2 x$

$B.$关于 $x$ 的不等式 $\sinh (\ln x)-\sinh (-\ln x) \leq \cfrac{{e}^2-1}{x}$ 的解集为 $(1, e]$

$C.$当 $y=m$ 与 $y=\sinh x$ 和 $y=\cosh x$ 共有 3 个交点时, $m \in(1,+\infty)$

$D.$ 如果对任意 $x\in(0,+\infty)$，当 $k\leqslant 1$ 时，都有 $\sinh x>kx$

解析：对于选项 \(A\) 而言，主要考查数学新定义的理解和数学运算，\(\cosh^2x\)\(=\)\((\cfrac{e^x+e^{-x}}{2})^2\)\(=\)\(\cfrac{e^{2x}+e^{-2x}+2}{4}\)，\(\sinh^2x\)\(=\)\((\cfrac{e^x-e^{-x}}{2})^2\)\(=\)\(\cfrac{e^{2x}+e^{-2x}-2}{4}\)，故 \(\cosh^2x\)\(+\)\(\sinh^2x\)\(=\)\(\cfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{2}\)\(=\)\(\cosh 2x\)，故选项 \(A\) 正确；

对于选项 \(B\) 而言，\(\sinh(\ln x)-\sinh(-\ln x)=\cfrac{e^{\ln x}-e^{-\ln x}}{2}-\cfrac{e^{-\ln x}-e^{\ln x}}{2}=e^{\ln x}-e^{-\ln x}=x-\cfrac{1}{x}\)，\(x>0\)，

故不等式 \(\sinh (\ln x)-\sinh (-\ln x) \leq \cfrac{{e}^2-1}{x}\) 即 \(x-\cfrac{1}{x}\leq\cfrac{{e}^2-1}{x}\)，即 \(x^2-1\leq e^2-1\)，则 \(x^2\leq e^2\)，解得 \(-e\leq x\leq e\) ，又 \(x>0\)，则 \(0<x\leq e\)，则 选项 \(B\) 错误；

对于选项 \(C\) 而言，记准 \(f(x)=e^x\pm e^{-x}\) 的图象，有助于手画出函数 \(y=\sinh x\) 和 \(y=\cosh x\) 的函数简图，由简图可以判断选项 \(C\) 正确；准确配图见下面的课件：

• 补充说明：\(y=\cosh x=\cfrac{e^x+e^{-x}}{2}\) 和 \(y=\sinh x=\cfrac{e^x-e^{-x}}{2}\) ，在第一象限内不会重合，假如在点 \((x_0,y_0)\) 处重合，则必有 \(\cfrac{e^{x_0}+e^{-x_0}}{2}=\cfrac{e^{x_0}-e^{-x_0}}{2}\)，化简后得到，\(e^{-x_0}=0\)，而我们知道，指数式 \(e^{-x_0}>0\) 恒成立，故方程无解，即 两个函数的图象在第一象限内不会重合.

对于选项 \(D\) 而言，原命题：如果对任意 \(x\)\(\in\)\((0,+\infty)\)，当 \(k\)\(\leqslant\)\(1\) 时，都有 \(\sinh\)\(x\)\(>\)\(kx\) .令 \(F(x)\)\(=\)\(\sinh\)\(x\)\(-\)\(kx\)\(=\)\(\cfrac{e^x-e^{-x}}{2}\)\(-\)\(kx\)，原命题等价于对任意 \(x\)\(\in\)\((0,+\infty)\)，\(F(x)\)\(>\)\(0\) 对 \(k\)\(\leqslant\)\(1\) 恒成立，

即 \(\forall\)\(x\)\(\in\)\((0,+\infty)\)， \(F(x)_{\min}\)\(>\)\(0\) 对 \(k\)\(\leqslant\)\(1\) 恒成立，

又 \(F'(x)=\cfrac{1}{2}(e^x+e^{-x})-k\geqslant 0\) 恒成立，即 \(F(x)\)在 \((0,+\infty)\)单调递增，

故 \(F(x)>F(0)=0\)，即 \(\forall\)\(x\)\(\in\)\((0,+\infty)\)， \(F(x)_{\min}\)\(>\)\(0\) 对 \(k\)\(\leqslant\)\(1\) 恒成立，

故原命题成立，综上所述，选 \(ACD\) .

【2018河南南阳期末】设\(f(x)=e^{1+sinx}+e^{1-sinx}\)，\(x_1，x_2\in[-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{\pi}{2}]\)，且\(f(x_1)>f(x_2)\)，则下列结论必然成立的是【\(\qquad\)】

$A.x_1 > x_2$ $B.x_1+x_2 > 0$ $C.x_1 < x_2$ $D.x_1^2 > x_2^2$

分析：\(f(-x)=e^{1-sinx}+e^{1+sinx}=f(x)\)，故函数\(f(x)\)为偶函数，

又当\(x\in[0，\cfrac{\pi}{2}]\)，\(f'(x)=e^{1+sinx}\cdot cosx+e^{1-sinx}\cdot(-cosx)=cosx(e^{1+sinx}-e^{1-sinx})>0\)，

故函数\(f(x)\)在\([0，\cfrac{\pi}{2}]\)上单调递增，则由\(f(x_1)>f(x_2)\)得到，

\(f(|x_1|)>f(|x_2|)\)，则有\(|x_1|>|x_2|\)，则\(x_1^2>x_2^2\)，故选\(D\).

法2：令\(t=sinx\)，由于\(x\in[-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{\pi}{2}]\)，则\(t\in [-1，1]\)

故原函数变形为\(f(x)=e^{1+sinx}+e^{1-sinx}=e^{1+t}+e^{1-t}=g(t)\)，

\(g(t)=e^{1+t}+e^{1-t}=e\cdot(e^t+e^{-t})\)，故\(g(t)\)为偶函数，则\(f(x)\)为偶函数；

由于\(t\in [-1，0]\)时，\(g(t)=e^{1+t}+e^{1-t}\)单调递减，\(t\in [0，1]\)时，\(g(t)=e^{1+t}+e^{1-t}\)单调递增，

对应于\(x\in [-\cfrac{\pi}{2}，0]\)时，\(f(x)=e^{1+sinx}+e^{1-sinx}\)单调递减，

\(x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]\)时，\(f(x)=e^{1+sinx}+e^{1-sinx}\)单调递增，

故由\(f(x_1)>f(x_2)\)得到，\(f(|x_1|)>f(|x_2|)\)，则有\(|x_1|>|x_2|\)，则\(x_1^2>x_2^2\)，故选\(D\).

意想不到的换元，两个不同结构的函数同时换元

⚠️【2017\(\cdot\)全国卷3理科第12题】比如我们想研究函数\(f(x)=x^2-2x+e^{x-1}+e^{1-x}\)的性质，

分析：令\(x-1=t\)时，则原函数变形为\(f(x)=x^2-2x+1+e^{x-1}+e^{1-x}-1=(x-1)^2+e^{x-1}+e^{1-x}-1\)

则原函数转化为\(g(t)=t^2+e^t+e^{-t}-1\)，

[搜索我们的知识储备]由于\(y=t^2\)为偶函数，且在\([0，+\infty)\)上单调递增，

由于\(y=e^t+e^{-t}\)为偶函数，且在\([0，+\infty)\)上单调递增，

故函数\(g(t)=t^2+e^t+e^{-t}-1\)在\([0，+\infty)\)上单调递增，且\(g(t)\)为偶函数。

故函数\(f(x)=x^2-2x+e^{x-1}+e^{1-x}\)，关于直线\(x=-1\)对称，

【高考模拟考试拟使用】若命题\(“\exists x\in (0,2]\)，不等式\(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x-e^{-x})<0”\)为假命题，求参数\(a\)的取值范围；

提示：和引例7相比，多增加了考点：函数的储备和函数的变形运算；

[知识储备回顾：注意函数\(y=e^x-e^{-x}\)在\(x\in (0,2]\)上单调递增且恒为正]

由题可知，命题\(“\forall x\in (0,2]\)，不等式\(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x-e^{-x})\geqslant 0”\)为真命题，

即\((e^x-e^{-x})a\leqslant e^{2x}+e^{-2x}\)在\(x\in (0,2]\)上恒成立，

即\(a\leqslant \cfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{e^x-e^{-x}}\)在\(x\in (0,2]\)上恒成立，

令\(\cfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{e^x-e^{-x}}=g(x)\)，需要求解函数\(g(x)\)的最小值或最小值的极限；

化简得到，\(g(x)=\cfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{e^x-e^{-x}}=\cfrac{(e^{x}-e^{-x})^2+2}{e^x-e^{-x}}\)

\(=e^x-e^{-x}+\cfrac{2}{e^x-e^{-x}}\)，

令\(t=e^x-e^{-x}\)，由于\(x\in (0,2]\)时函数\(t=e^x-e^{-x}\)单调递增，则\(t\in (0,e^2-e^{-2}]\)，

则函数\(g(x)=h(t)=t+\cfrac{2}{t}\)，\(t\in (0,e^2-e^{-2}]\)，

由上述储备可知，函数\(h(t)\)在区间\((0,\sqrt{2}]\)上单调递减，在区间\([\sqrt{2},e^2-e^{-2}]\)上单调递增，

故\(g(x)_{\min}=h(t)_{\min}=h(\sqrt{2})=2\sqrt{2}\)，

故\(a\leqslant 2\sqrt{2}\)，即所求的\(a\)的取值范围为\((-\infty,2\sqrt{2}]\)；

解后反思：当得到\(g(x)=e^x-e^{-x}+\cfrac{2}{e^x-e^{-x}}\)，自然还可以使用均值不等式来求解最小值；

【高考模拟考试拟使用】若命题\(“\exists x\in (1,2]\)，不等式\(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x+e^{-x})<0”\)为假命题，求参数\(a\)的取值范围；

提示：和引例8相比，本题仅仅是函数形式的不同和储备函数的不同；

[知识储备回顾：注意函数\(y=e^x+e^{-x}\)在\(x\in (0,2]\)上单调递增且恒为正]

由题可知，命题\(“\forall x\in (0,2]\)，不等式\(e^{2x}+e^{-2x}-a(e^x+e^{-x})\geqslant 0”\)为真命题，

即\((e^x+e^{-x})a\leqslant e^{2x}+e^{-2x}\)在\(x\in (0,2]\)上恒成立，

即\(a\leqslant \cfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{e^x+e^{-x}}\)在\(x\in (0,2]\)上恒成立，

令\(\cfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{e^x+e^{-x}}=h(x)\)，需要求解函数\(h(x)\)的最小值或最小值的极限；

化简得到，\(h(x)=\cfrac{e^{2x}+e^{-2x}}{e^x+e^{-x}}=\cfrac{(e^{x}+e^{-x})^2-2}{e^x+e^{-x}}\)

\(=e^x+e^{-x}-\cfrac{2}{e^x+e^{-x}}\)，

令\(t=e^x+e^{-x}\)，由于\(x\in (0,2]\)时函数\(t=e^x+e^{-x}\)单调递增，则\(t\in (2,e^2+e^{-2}]\)，

则函数\(h(x)=m(t)=t-\cfrac{2}{t}\)，\(t\in (2,e^2+e^{-2}]\)，

函数\(h(t)\)在区间\((2,e^2+e^{-2}]\)上单调递增，

故\(h(x)_{\min}=m(t)_{\min}\rightarrow m(2)=2-\cfrac{2}{2}=1\)，

即所求的\(a\)的取值范围为\((-\infty,1]\)；

【2020 陕西汉中模拟节选改编】已知函数\(f(x)=\cfrac{x+1}{e^x}\)(其中 \(e≈2.718…\)为自然对数的底数).

(1). 若 \(F(x)=f(x)-f(-x)\)， 求 \(F(x)\)的单调区间；

分析：函数定义域为\((-\infty,+\infty)\)，\(F(x)=f(x)-f(-x)=\cfrac{x+1}{e^x}+\cfrac{-x+1}{e^{-x}}\)，

\(F'(x)=\cfrac{1\cdot e^x-(x+1)\cdot e^x}{(e^x)^2}-\cfrac{-1\cdot e^{-x}-(-x+1)\cdot e^{-x}\cdot (-1)}{(e^{-x})^2}\)

\(=\cfrac{1-x-1}{e^x}-\cfrac{-1-x+1}{e^{-x}}=\cfrac{-x}{e^x}+x\cdot e^x\)

\(=x\cdot(e^x-\cfrac{1}{e^x})=x\cdot (e^x-e^{-x})\)

在同一个坐标系中，做出函数\(y=x\)和\(y=e^x-e^{-x}\)的图像，由图像很快写出单调性如下：

①当\(x\in (-\infty,0)\)时，由于\(x<0\)，\(e^x-e^{-x}<0\)，故\(F'(x)>0\)，\(F(x)\)单调递增；

②当\(x=0\)时，由于\(x=0\)，\(e^x-e^{-x}=0\)，故\(F'(x)=0\)；

③当\(x\in (0,+\infty)\)时，由于\(x>0\)，\(e^x-e^{-x}>0\)，故\(F'(x)>0\)，\(F(x)\)单调递增；

即当\(x\in (-\infty,+\infty)\)时，故\(F'(x)\geqslant 0\)恒成立，故\(F(x)\)在\(x\in (-\infty,+\infty)\)单调递增；

即\(F(x)\)的单调递增区间为\((-\infty,+\infty)\)，没有单调递减区间。

【2021届凤翔中学高三理科数学月考四第12题】已知\(a>0\)，\(m(x)=e^{x-2}-e^{2-x}\)，\(f(x)\)\(=\)\(a\cdot\)\(m(x)\)\(-\)\(\sin\pi x\)，若\(f(x)\)存在唯一零点，下列说法错误的是【\(\quad\quad\)】

$A.m(x)$在$R$上递增

$B.m(x)$图像关于点$(2,0)$中心对称

$C.a\geqslant \cfrac{\pi}{2}$

$D.$任取不相等的实数$x_1$，$x_2\in R$，均有$\cfrac{m(x_1)+m(x_2)}{2} < m(\cfrac{x_1+x_2}{2})$

解析：首先，储备研究清楚模板函数 \(y=e^x-e^{-x}\) 的图像和性质，非常利于求解此题目；

函数 \(y=e^x-e^{-x}\) 定义域为 \(R\) ，在 \(R\) 上单调递增，奇函数，图像关于点\((0，0)\)成中心对称；

而函数 \(m(x)=e^{x-2}-e^{2-x}\)，是函数 \(y=e^x-e^{-x}\) 向右平移两个单位得到的，

则函数 \(m(x)\) 在 \(R\) 上单调递增，故选项 \(A\)正确；

则其图像关于点\((2，0)\)成中心对称，故选项 \(B\)正确；

以下重点研究选项 \(C\) 是否正确；

由于函数 \(m(x)\) 关于点\((2,0)\)对称，且函数图像经过此点，同时函数 \(y=\sin\pi x\) 也关于点\((2,0)\)对称，且其图像也经过此点，

故要说明 \(f(x)\) 存在唯一零点，只需要说明 \(x>2\) 时，函数\(f(x)=a\cdot (e^{x-2}-e^{2-x})-\sin\pi x>0\)恒成立，

又由于平移的关系，只需要说明 \(x>0\) 时，函数\(g(x)=a\cdot (e^{x}-e^{-x})-\sin\pi x>0\)恒成立，

由于 \(x>0\) 时，不等式 \(\pi x>\sin\pi x\) 恒成立，

故 \(g(x)=a[\cdot (e^{x}-e^{-x})-\cfrac{1}{a}\sin\pi x]>a(e^x-e^{-x}-\cfrac{\pi x}{a})\)在 \((0,+\infty)\) 上恒成立，

故只需要说明函数 \(h(x)=e^x-e^{-x}-\cfrac{\pi x}{a}\geqslant 0\)在 \((0,+\infty)\) 上恒成立，

由于\(h'(x)=e^x+e^{-x}-\cfrac{\pi}{a}\)，且 \(h''(x)=e^x-e^{-x}>0\)在 \((0,+\infty)\) 上恒成立，

故\(h'(x)\)在 \((0,+\infty)\) 上单调递增，又\(h(0)=0\)，

故只需要满足\(h'(x)>h'(0)=2-\cfrac{\pi}{a}\geqslant 0\)即可；

由上解得，\(a\geqslant \cfrac{\pi}{2}\)，故选项\(C\)正确；

对于选项\(D\)而言，任取不相等的实数\(x_1\)，\(x_2\in R\)，均有\(\cfrac{m(x_1)+m(x_2)}{2}<m(\cfrac{x_1+x_2}{2})\)，表达的是函数的凹凸性，而函数 \(m(x)\) 在\((-\infty，2)\)上是上凸型的函数，在\((2,+\infty)\)上是下凹型的函数，

故选项\(D\)是错误的，故本题目选择 \(D\)；

【静雅斋自编题目】已知函数\(y=f(x)=e^x+e^{-x}\)，求解不等式\(f(x)>f(2-x)\)中\(x\)的取值范围。

法1：[分类讨论，很繁琐的思路]先判断函数的定义域为\(R\)，且为偶函数；又由于\(x>0\)时，\(e^x>1\)且\(0<\cfrac{1}{e^x}<1\)，则\(f'(x)=e^x-\cfrac{1}{e^x}>0\)，

则可知在\((-\infty，0]\)上单调递减，在\([0，+\infty)\)上单调递增。

若针对两个自变量\(x\)和\(2-x\)分类讨论，则得到以下四种情形：

\(Ⅰ.\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{2-x\ge 0}\\{x>2-x}\end{array}\right.\)或者\(Ⅱ.\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\{2-x\leq 0}\\{x<2-x}\end{array}\right.\)或者\(Ⅲ.\left\{\begin{array}{l}{x>0}\\{2-x\leq 0}\\{-x<2-x}\end{array}\right.\)或者\(Ⅳ.\left\{\begin{array}{l}{x<0}\\{2-x\ge 0}\\{-x>2-x}\end{array}\right.\)

解Ⅰ得到，\(1<x\leq 2\)；解Ⅱ得到，\(x\in \varnothing\)；

解Ⅲ得到，\(x\ge 2\)；解Ⅳ得到，\(x\in \varnothing\)；

求并集得到\(x\)的取值范围为\(x>1\)，即\(x\in (1，+\infty)\)。

法2：[利用偶函数的性质，简洁明快]先判断函数的定义域为\(R\)，在\((-\infty，0]\)上单调递减，在\([0，+\infty)\)上单调递增，且为偶函数；

故由\(f(x)>f(2-x)\)变形得到，\(f(|x|)>f(|2-x|)\)，这样做的用意是将两个自变量整体强行放置到函数的单调递增区间上，便于利用单调性求解；

故得到 \(|x|>|2-x|\)此处用到的去掉绝对值的思路是 \(|x|^2\)\(=\)\(x^2\)，由于不等式 \(|x|\) \(>\) \(|2-x|\)的两端都非负，可以利用不等式的性质，两边同时平方得到，\(x^2\) \(>\) \((2-x)^2\)，则 \(x^2>(2-x)^2\)，解得\(x>1\)。即\(x\in (1，+\infty)\)。

如图所示， 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案， 俗称阴阳鱼， 太极图展现了一种相互转化， 相对统一的和谐美， 定义: 能够将圆 \(O\) 的周长和面积同时等分成两个部分的函数 称为圆 \(O\) 的一个 “太极函数”， 则下列有关说法中:

①. 函数 \(f(x)=\sqrt[3]{x}+1\) 是圆 \(O: x^{2}+(y-1)^{2}=1\) 的一个太极函数；

②. 函数 \(f(x)={e}^{x-1}-{e}^{1-x}+2\) 是圆 \(O:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=1\) 的一个太极函数；

③. 函数 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-x,&x\geq 0\\-x^{2}-x,&x<0\end{array}\right.\) 是圆 \(0: x^{2}+y^{2}=1\) 的一个太极函数；

④. 函数 \(f(x)=\ln \left(\sqrt{x^{2}+1}+x\right)\) 是圆 \(0: x^{2}+y^{2}=1\) 的一个太极函数. 所有正确的是______________.

解析：本题目实质是问，所给的函数是不是关于所给圆的圆心成中心对称图形，如果是，则此函数必能将圆 \(O\) 的周长和面积同时等分成两个部分，故其就是所给圆的太极函数；

对于①而言，函数 \(f(x)\)\(=\)\(\sqrt[3]{x}\)\(+\)\(1\)\(=\)\(x^{\frac{1}{3}}\)\(+\)\(1\)，其对称中心为\((0,1)\)，因此函数 \(f(x)\)\(=\)\(\sqrt[3]{x}\)\(+\)\(1\) 是圆 \(O\)\(:\)\(x^{2}\)\(+\)\((y-1)^{2}\)\(=\)\(1\) 的一个太极函数；辅助记忆：\(y\)\(=\)\(x^3\)与\(y\)\(=\)\(x^{\frac{1}{3}}\)的图像关于直线\(y\)\(=\)\(x\)对称；

对于②而言，函数 \(f(x)\)\(=\)\({e}^{x-1}\)\(-\)\({e}^{1-x}\)\(+\)\(2\)，其对称中心为\((1,2)\)，说明：\(y\)\(=\)\(e^x\)\(-\)\(e^{-x}\)为奇函数，单调递增，对称中心为\((0,0)\)，将其向右平移一个单位，得到 \(y\)\(=\)\({e}^{x-1}\)\(-\)\({e}^{1-x}\)，再将其向上平移\(2\)个单位，得到 \(f(x)\)\(=\)\({e}^{x-1}\)\(-\)\({e}^{1-x}\)\(+\)\(2\)，故其对称中心为\((1,2)\)，因此函数 \(f(x)\)\(=\)\({e}^{x-1}\)\(-\)\({e}^{1-x}\)\(+\)\(2\) 是圆 \(O\)\(:\)\((x-1)^{2}\)\(+\)\((y-2)^{2}\)\(=\)\(1\) 的一个太极函数；

对于③而言，做出函数的简图，就能看出来\(f(x)\)是个奇函数，其对称中心为\((0,0)\)，故函数 \(f(x)\) 是圆 \(0: x^{2}+y^{2}=1\) 的一个太极函数；

对于④而言，函数\(f(x)\)为奇函数，其对称中心为\((0,0)\)，说明：\(f(x)\)\(+\)\(f(-x)\)\(=\)\(\ln(\sqrt{x^2+1}+x)\)\(+\)\(\ln(\sqrt{x^2+1}-x)\)\(=\)\(\ln1\)\(=\)\(0\)，故其对称中心为\((0,0)\)，则函数 \(f(x)\) 是圆 \(0\)\(:\)\(x^{2}\)\(+\)\(y^{2}\)\(=\)\(1\) 的一个太极函数；

综上所述，所有正确的是 ①②③④ .

【2021届高三二轮复习用题】【共用对称中心】 已知函数\(f(x)\)\(=\)\(e^{x-1}\)\(-\)\(e^{1-x}\)\(+\)\(4\)， 若方程 \(f(x)\)\(=\)\(kx\)\(+\)\(4-k\) \((k>0)\) 有三个不同的实数根 \(x_{1}\)， \(x_{2}\)， \(x_{3}\)， 则 \(x_{1}\)\(+\)\(x_{2}\)\(+\)\(x_{3}\)=____________.

解析: 因为 \(y=e^{x}-e^{-x}\) 为奇函数， 而 \(f(x)\) 的图象可由函数 \(y=e^{x}-e^{-x}\) 的图象向右平移 \(1\) 个单位长度，再向上平移 \(4\) 个单位长度得到，所以 \(f(x)\) 的图象关于点 \((1, 4)\) 对称，

而 \(y=kx+4-k=k(x-1)+4\) 所表示的直线也关于点 \((1，4)\) 对称，

所以方程 \(f(x)=kx+4-k\) 的三个根 \(x_{1}\)， \(x_{2}\)， \(x_{3}\) 中有一个为 \(1\)， 且另外两个之和为 \(2\) ， 所以 \(x_{1}+x_{2}+x_{3}=3\).

已知函数 \(f(x)=\cfrac{4^x-1}{2^x}\) ，则不等式 \(2x\cdot f(x)-3<0\) 的解集为 _____________。

解析： 本题属于求解涉及具体函数的不等式问题，首先将分式形式的函数变形为我们用心储备的熟悉的函数，

\(f(x)=\cfrac{4^x-1}{2^x}=2^x-2^{-x}\) ^[1]， 奇函数， 相关知识

原不等式 \(2x\cdot f(x)-3<0\) 等价于 \(x\cdot f(x)<\cfrac{3}{2}\)，然后研究左端函数的性质此时求解函数不等式时，首先要具备的思维是一般不能用代数方法[比如移项，去括号，系数化1等]求解，而要用到函数的相关性质求解[比如定义域，单调性，奇偶性等]，此时给定的解析式仅仅是为了得到相关的性质。，相关例

而函数 \(F(x)=x\cdot f(x)\) 为偶函数，过 \((0,0)\) 点，\((-\infty,0)\) 单调递减，\((0,+\infty)\) 单调递增，

又 \(F(1)=\cfrac{3}{2}\)，即 原不等式等价于 \(F(x)<\cfrac{3}{2}=F(1)\)，故 \(F(|x|)<F(1)\)，

即 \(|x|<1\) ，故 \(x\in (-1,1)\) 。

关联知识

参数方程的消参： \((e^t+e^{-t})^2-(e^t-e^{-t})^2=4\)； \((2^t+2^{-t})^2-(2^t-2^{-t})^2=4\)；

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1. 化简过程， \(\cfrac{4^x-1}{2^x}=\cfrac{(2^x)^2}{2^x}-\cfrac{1}{2^x}=2^x-2^{-x}\) ； ↩︎