两圆的位置关系

前言

数形对应 有空补充动态课件，待后补充；

为便于表述，我们设两圆的圆心分别为\(O_1\)、\(O_2\)，两圆的半径分别为\(R_1\)、\(R_2\)，且\(R_1>R_2\)；

则两圆外离\(\Leftrightarrow\) \(|O_1O_2|\)\(>\)\(R_1\)\(+\)\(R_2\)；

则两圆外切\(\Leftrightarrow\) \(|O_1O_2|\)\(=\)\(R_1\)\(+\)\(R_2\)；

则两圆相交\(\Leftrightarrow\) \(R_1\)\(-\)\(R_2\)\(<\)\(|O_1O_2|\)\(<\)\(R_1\)\(+\)\(R_2\)；

则两圆内切\(\Leftrightarrow\) \(|O_1O_2|\)\(=\)\(R_1\)\(-\)\(R_2\)；

则两圆内含\(\Leftrightarrow\) \(|O_1O_2|\)\(<\)\(R_1\)\(-\)\(R_2\)；

引申：两圆有公共点\(\Leftrightarrow\) \(R_1\)\(-\)\(R_2\)\(\leqslant\)\(|O_1O_2|\)\(\leqslant\)\(R_1\)\(+\)\(R_2\)；

典例剖析

【利用椭圆的定义法求解】已知圆\(M：(x+1)^2+y^2=1\)，圆\(N：(x-1)^2+y^2=9\)，动圆\(P\)与圆\(M\)外切并且与圆\(N\)内切，圆心\(P\)的轨迹方程为曲线\(C\)，求\(C\)的方程；

分析：由已知得，圆\(M\)的圆心为\(M(-1，0)\)，半径\(r_1=1\)；

圆\(N\)的圆心为\(N(1，0)\)，半径\(r_2=3\)；

设圆\(P\)的圆心为\(P(x，y)\)，半径为\(R\)；

由于圆\(P\)与圆\(M\)外切，则\(|PM|=R+r_1=R+1\)，

又圆\(P\)与圆\(N\)内切，则则\(|PN|=r_2-R=3-R\)，

所以\(|PM|+|PN|=(R+r_1)+(r_2-R)=r_1+r_2=4=2a\)，\(2c=|MN|=2\)，

由[椭圆的定义]可知，曲线\(C\)是以\(M\)，\(N\)为左右焦点，长半轴长为\(a=2\)，短半轴长为\(b=\sqrt{3}\)的椭圆(左顶点除外)，

其轨迹方程为\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1(x\neq -2)\)。

【北京人大附中高二试题】如图，在平面直角坐标系 \(xOy\) 中，已知以\(M\)为圆心的圆\(M:\) \(x^{2}\)\(+\)\(y^{2}\)\(-12x\)\(-14y\)\(+\)\(60\)\(=0\) 及其上一点 \(A(2,4)\).

(1). 设圆 \(N\) 与 \(x\) 轴相切，与圆 \(M\) 外切, 且圆心 \(N\) 在直线 \(x=6\) 上, 求圆 \(N\) 的标准方程；

分析：由于\(N\) 在直线 \(x=6\) 上， 故设 \(N(6, n)\)，

由题可知，圆 \(N\) 与 \(x\) 轴相切，故圆 \(N\) 为 \(: (x-6)^{2}+(y-n)^{2}=n^{2}\)， \(n>0\)，

又圆 \(N\) 与圆 \(M\)外切设两圆的圆心分别为\(O_1\)、\(O_2\)，两圆的半径分别为\(R_1\)、\(R_2\)，则两圆外切\(\Leftrightarrow\) \(|O_1O_2|\)\(=\)\(R_1\)\(+\)\(R_2\)\(\quad\)，\(\odot M\)：\((x-6)^2+(y-7)^2=25\)，圆心坐标为\(M(6,7)\)；

故由两圆外切得到，\(|7-n|=|n|+5\)， 解得 \(n=1\)，

故得到圆 \(N\) 的标准方程为：\(\odot N\)：\((x-6)^2+(y-1)^2=1\)；

(2). 设平行于 \(OA\) 的直线 \(l\) 与圆 \(M\) 相交于\(B\)，\(C\) 两点， 且 \(BC=OA\) ，求直线 \(l\) 的方程；

分析：由题意得 \(OA=2\sqrt{5}\)， \(k_{OA}=2\)， 设\(l: y=2x+b\)，

则圆心\(M\)到直线\(BC：2x-y+b=0\)的距离 \(d=\cfrac{|2\times6-7+b|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\cfrac{|5+b|}{\sqrt{5}}\)，

则 \(|BC|=2\sqrt{5^{2}-d^{2}}=2\sqrt{25-\cfrac{(5+b)^{2}}{5}}\)， \(BC=2\sqrt{5}\)，

即 \(2\sqrt{25-\cfrac{(5+b)^{2}}{5}}=2\sqrt{5}\)，解得 \(b=5\) 或 \(b=-15\)，

故直线\(l\) 的方程为 \(: y=2x+5\) 或 \(y=2x-15\).

(3). 设点 \(T(t, 0)\) 满足: 存在圆 \(M\) 上的两点 \(P\) 和 \(Q\)， 使得 \(\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{TQ}\)， 求实数 \(t\) 的取值范围.

分析： 设 \(P(x_{1}, y_{1})\)， \(Q(x_{2}, y_{2})\)，

由于\(A(2,4)\)， \(T(t, 0)\)， 且\(\overrightarrow{TA}+\overrightarrow{TP}=\overrightarrow{TQ}\)，备注此处的向量表达式目的是从数的角度刻画\(P\)和\(Q\)两点满足的关系；\(\quad\).

即\((2-t,4)+(x_1-t,y_1)=(x_2-t,y_2)\)，

故 \(\left\{\begin{array}{l}{x_{2}=x_{1}+2-t}\\{y_{2}=y_{1}+4}\end{array}\right.\)①，

由于点 \(Q\) 在圆 \(M\)上， 故 \((x_{2}-6)^{2}+(y_{2}-7)^{2}=25\)②，

将①代入②， 得 \((x_{1}-t-4)^{2}+(y_{1}-3)^{2}=25\)，

即点\(P\)在圆心为\((t+4,3)\)，半径为\(5\)的圆上，

从而圆 \((x-6)^{2}+(y-7)^{2}=25\) 与圆 \([x-(t+4)]^{2}+(y-3)^{2}=25\) 有公共点设两圆的圆心分别为\(O_1\)、\(O_2\)，两圆的半径分别为\(R_1\)、\(R_2\)，且\(R_1>R_2\)，则两圆有公共点\(\Leftrightarrow\) \(R_1\)\(-\)\(R_2\)\(\leqslant\)\(|O_1O_2|\)\(\leqslant\)\(R_1\)\(+\)\(R_2\)；\(\quad\)，

故\(5-5\leqslant\sqrt{[(t+4)-6]^{2}+(3-7)^{2}}\leqslant 5+5\)，

解得 \(2-2\sqrt{21}\leqslant t\leqslant 2+2\sqrt{21}\)；

即实数 \(t\) 的取值范围为 \(t\in [2-2\sqrt{21},2+2\sqrt{21}]\)；

【2021 全国甲卷】在直角坐标系 \(xOy\) 中， 以坐标原点为极点， \(x\) 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 \(C\) 的极坐标方程为 \(\rho=2\sqrt{2}\cos\theta\) .

(1). 将 \(C\) 的极坐标方程化为直角坐标方程；

解: 由 \(\rho=2\sqrt{2}\cos\theta\)， 知 \(\rho^{2}=2\sqrt{2}\rho\cos\theta\).

又 \(\rho^{2}=x^{2}+y^{2}\)， \(\rho\cos\theta=x\)， 所以 \(x^{2}+y^{2}=2\sqrt{2}x\)， 即 \((x-\sqrt{2})^{2}+y^{2}=2\).

(2). 设点 \(A\) 的直角坐标为 \((1,0)\)， \(M\) 为 \(C\) 上的动点， 点 \(P\) 满足 \(\overrightarrow{AP}\)\(=\)\(\sqrt{2}\overrightarrow{AM}\)， 写出 \(P\) 的轨迹 \(C_{1}\) 的参数方程， 并判断 \(C\) 与 \(C_{1}\) 是否有公共点.

解： 设 \(M(\sqrt{2}+\sqrt{2}\cos\theta,\sqrt{2}\sin \theta)\)， \(P(x， y)\)， 因为 \(A(1，0)\)，\(\overrightarrow{AP}=\sqrt{2}\overrightarrow{AM}\)当有了曲线的参数方程后，曲线上的动点就有了坐标，而向量又可以用坐标表示，则此时可以利用坐标相等，得到参数方程 .，

所以 \(\left\{\begin{array}{l}x-1=\sqrt{2}\times(\sqrt{2}+\sqrt{2}\cos\theta-1)，\\ y=\sqrt{2}\times\sqrt{2}\sin\theta .\end{array}\right.\)

所以 \(C_{1}\) 的参数方程为 \(\left\{\begin{array}{l}x=2\cos \theta+3-\sqrt{2}，\\ y=2\sin\theta，\end{array}\right.\) 其中 \(\theta\) 为参数， \(\theta \in[0，2 \pi)\).

此时 \(C_{1}\) 的直角坐标方程为 \((x-3+\sqrt{2})^{2}+y^{2}=4\).

所以 \(C\) 与 \(C_{1}\) 的圆心距为 \(\sqrt{(3-\sqrt{2}-\sqrt{2})^{2}+0^{2}}=3-2 \sqrt{2}\).

因为 \(r_{1}-r=2-\sqrt{2}\)， 又 \(2-\sqrt{2}-3+2 \sqrt{2}=\sqrt{2}-1>0\)， 所以两圆内含， \(C_{1}\) 与 \(C_{2}\) 无公共点.