直线方程和直线系方程

直线方程

  • 点斜式:\(y-y_1=k(x-x_1)\)(其中\(l\)过定点\(P_1(x_1,y_1)\),斜率为\(k\));

缺陷:不能表示斜率不存在的直线;

  • 斜截式:\(y=kx+b\)(\(k\)是斜率,\(b\)\(y\)截距);

缺陷:不能表示斜率不存在的直线;

  • 两点式:\(\cfrac{y-y_1}{y_2-y_1}=\cfrac{x-x_1}{x_2-x_1}(x_1\neq x_2,y_1\neq y_2)\)(两点是\(P_1(x_1,y_1)、P_2(x_2,y_2)\)),

缺陷:不能表示斜率不存在的和斜率为0的直线;

  • 截距式:\(\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b}=1(a\neq 0,b\neq 0)\)(\(a,b\)分别是横截距和纵截距),

缺陷:不能表示过原点的直线;

  • 一般式:\(Ax+By+C=0\)

没有上述直线方程的缺陷。

直线的平行与垂直的刻画,用一般式来说,只要一种即可,如果用其他的形式,则必须做补充说明,很麻烦的;

直线的参数方程

  • 以动点到定点的有向线段的数量为参数,

\(\left\{\begin{array}{l}{x=x_0+cos\theta\cdot t}\\{y=y_0+sin\theta\cdot t}\end{array}\right.(t为参数)\)

  • 如何将一个直线的普通方程转化为参数方程?[1]

直线系方程

  • 定点直线系方程,[是一族直线,不是一条直线,当\(k\)的取值不同时就对应不同的直线]

经过定点\(P(x_0,y_0)\)的直线系方程是\(y-y_0=k(x-x_0)\)(\(k\)是待定系数)或者是\(A(x-x_0)+B(y-y_0)=0\)(\(A\)\(B\))是待定系数;

  • 共点直线系方程,[指经过两条直线共用的交点的一族直线,当\(\lambda\)的取值不同时就对应不同的直线]

给定两条直线\(l_1:A_1x+B_1y+C_1=0\)\(l_2:A_2x+B_2y+C_2=0\),则经过两条直线\(l_1\)\(l_2\)的交点[联立两个直线方程即可求得交点坐标]的直线系方程为\((A_1x+B_1y+C_1)+\lambda (A_2x+B_2y+C_2)=0\)(这族直线中不包含直线\(l_2\)),其中\(\lambda\)是待定系数。

解释说明:共点直线系方程中为什么不包括\(l_2\)

由于共点直线系方程为\((A_1x+B_1y+C_1)+\lambda (A_2x+B_2y+C_2)=0\)

则当\(\lambda=0\)时,说明此时随\(\lambda\)取值变化的直线系中刚好刻画的是直线\(l_1\)

\(\lambda\neq 0\)时,要使得刻画的是直线\(l_2\),则需要\(A_1x+B_1y+C_1=0\),而它前边系数的系数为\(1\),不是\(0\),故不可能突变为\(0\),这样整个的运算结果就不可能变为\(A_2x+B_2y+C_2=0\),故共点直线系方程中不包括直线\(l_2\)

同理,如果我们将共点直线系方程写为\(\lambda (A_1x+B_1y+C_1)+(A_2x+B_2y+C_2)=0\),则此时共点直线系方程中就不包含直线\(l_1\)

用课件做以说明。

  • 平行直线系方程

直线\(y=kx+b\)中,当\(k\)为常数而\(b\)变化时,表示一族平行直线方程;与直线\(Ax+By+C=0\)平行的直线系方程是\(Ax+By+\lambda=0(C\neq \lambda\),即不包含两直线重合情况,\(\lambda\) 为参数)。

  • 垂直直线系方程

与直线\(Ax+By+C=0(A\neq 0,B\neq 0)\)垂直的直线系方程是\(Bx-Ay+\lambda=0(\lambda 为参数)\)

圆的切线方程

已知圆\(x^2+y^2=r^2\),则可知

①过圆上的点\(P_0(x_0,y_0)\)的切线方程是\(x_0x+y_0y=r^2\)[2] 向量证明方法见必修四P99 例3。

②斜率为\(k\)的直线成为圆的的切线方程为\(y=kx\pm r\sqrt{1+k^2}\)

两圆相交弦方程

引例:比如给定\(\odot C_1:(x-1)^2+(y-1)^2=4\)①,\(\odot C_2:(x+1)^2+(y+1)^2=4\)②,求两圆的相交弦所在的直线方程。

分析:设两个圆相交后的公共点为\(A(x_1,y_1)\)\(B(x_2,y_2)\)

则由点\(A\)满足圆\(C_1\)和圆\(C_2\),,得到\((x_1-1)^2+(y_1-1)^2=4\)\((x_1+1)^2+(y_1+1)^2=4\)

两式相减整理得到,\(y_1=-x_1\)

由点\(B\)满足圆\(C_1\)和圆\(C_2\),,得到\((x_2-1)^2+(y_2-1)^2=4\)\((x_2+1)^2+(y_2+1)^2=4\)

两式相减整理得到,\(y_2=-x_2\)

说明点\(A(x_1,y_1)\)\(B(x_2,y_2)\)都在直线\(y=-x\)上,故两圆的相交弦所在的直线方程为\(y=-x\)

简单操作:由①-②得到,经过两个圆的相交弦方程为\(-2x-2x-2y-2y=0\),即\(y=-x\)

由此类比得到更一般化的情形:

给定\(\odot C_1:(x-a)^2+(y-b)^2=e\)①,\(\odot C_2:(x-c)^2+(y-d)^2=f\)②,注意两圆必须相交; 由①-②得到,经过两个圆的相交弦方程为\((2c-2a)x+(2d-2b)y+a^2-c^2+b^2-d^2-e+f=0\)

典例剖析

【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅱ第3题】若直线\(x+(1+m)y-2=0\)与直线\(mx+2y+4=0\)平行,则\(m\)的值为【】

$A.1$ $B.-2$ $C.1或-2$ $D.-\cfrac{3}{2}$

分析:由题可知,\(\cfrac{1}{m}=\cfrac{m+1}{2}\neq \cfrac{-2}{4}\)①,具体求解时我们往往只利用下式求值,

\(\cfrac{1}{m}=\cfrac{m+1}{2}\)②,解得\(m=1\)\(m=-2\),由于刚才扩大了范围,故此时需要代入①式验证,

验证得到\(m=-2\)时不符,故\(m=1\),则选\(A\)

反思:满足②式的解不见得就一定满足①式,故不要忘记验证。补充直线平行或垂直的充要条件。

求直线方程的方法

待补充

①直接法
②公式法
③直线系法
④向量法
⑤相关点法
⑥参数法
⑦结构分析法
⑧点差法


  1. 如给定直线\(y=2x+1\),其中点\((0,1)\),点\((1,3)\)都在其上,
    我们现在想求做过点\((1,3)\)的直线\(y=2x+1\)的参数方程,
    可以这样做,依照模板\(\left\{\begin{array}{l}{x=x_0+cos\theta \cdot t}\\{y=y_0+sin\theta\cdot t}\end{array}\right.(t为参数)\)
    定点坐标为\((x_0,y_0)=(1,3)\)
    可知\(k=tan\theta=2\),引入非零比例因子\(k\)
    得到\(sin\theta=2k\)\(cos\theta=k(k>0)\)
    \(sin^2\theta+cos^2\theta=1\),得到\(k=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)
    则可知\(cos\theta=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)\(sin\theta=\cfrac{2\sqrt{5}}{5}\)
    故所给定直线\(y=2x+1\)的参数方程为
    \(\left\{\begin{array}{l}{x=1+\cfrac{\sqrt{5}}{5} t}\\{y=3+\cfrac{2\sqrt{5}}{5} t}\end{array}\right.(t为参数)\)
    总结思路:①找个定点;②求解\(cos\theta\)\(sin\theta\);③带入模板,OK! ↩︎

  2. 证明:由于点\(P_0(x_0,y_0)\)在圆\(x^2+y^2=r^2\)上,故有\(x_0^2+y_0^2=r^2\)
    又由于直线\(OP\)的斜率\(k_1=\cfrac{y_0}{x_0}\),故和直线\(OP\)垂直的圆的切线的斜率为\(k_0=-\cfrac{x_0}{y_0}\)
    由点斜式可得,过圆上的点\(P_0(x_0,y_0)\)的切线方程为\(y-y_0=k_0(x-x_0)\)

    \(y-y_0=-\cfrac{x_0}{y_0}(x-x_0)\),整理为\(x_0x+y_0y=x_0^2+y_0^2\),又\(x_0^2+y_0^2=r^2\)
    故整理得到切线方程为\(x_0x+y_0y=r^2\)↩︎

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posted @ 2017-11-09 19:06  静雅斋数学  阅读(5934)  评论(0编辑  收藏  举报