2026新高考二卷数学真题及解析 | 单选题
2026新高考二卷数学单选题真题及解析
前情概要
2026 年全国高考数学共 5 套试卷，即新高考全国一卷、全国二卷、北京卷、天津卷、上海卷。2026年全国高考时间在6月7日-10日之间，数学科目考试时间均为6月7日15:00-17:00，除了自主命题的北京、天津、上海外，其余地区均由教育部统一命题。
适用省份：辽宁、海南、重庆、吉林、黑龙江、广西、贵州、甘肃、四川、内蒙古、陕西、青海、宁夏、云南、山西、新疆、西藏。
博客的真题解答者是采用豆包的解答，有空再依次验证并添加自己的解答和感悟。本来是为了少打字以及补充不同的求解思路采用豆包的解答，结果 AI 的幻觉很大，每次给出的答案往往还不一样，修正判断倒是费时费力了不少。20260620，利用端午假期，逐字逐句修改、调整、补充，并添加静雅斋的相关引申链接，添加特殊的显示格式，和自我感悟，欢迎批评指正。
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- 相关说明：2026新高考一卷、二卷数学真题的解析者是 高考100 网站的熊老师，在此致敬！
一、单选题
（ 本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）
解：\(B\)，极简题目，送分和增加信心作用
解法1：解方程求集合\(B\)，\(\sqrt{x}=x\)，定义域\(x\ge0\)，两边平方，\(x=x^2\) \(\implies\) \(x=0\) 或 \(x=1\)，即 \(B=\{0,1\}\)，\(A\cap B=\{0,1\}\)，故选 \(A\)；极简题目，送分和增加信心作用
①防止算理错误，由 \(x=x^2\) 两边约分，解得 \(x=1\)，将 \(x=0\) 漏解了；
② 若方程变不等式，则难度增加，如 \(\sqrt{x}\) \(>\) \(-x\)，应分类讨论求解得到 \(x>0\)，而不是两边平方后错误变形解得 \(x<1\) 或 \(0<x<1\) .
解法2：代入检验法，略。
解法1：模长平方作差，遇到向量的模，平方的操作极其常用
\(|\vec{a}+\vec{b}|^2\) \(=\) \(|\vec{a}|^2+\)\(2\vec{a}\cdot\vec{b}\)\(+|\vec{b}|^2=1①\) ，\(|\vec{a}-\vec{b}|^2\) \(=\) \(|\vec{a}|^2-\)\(2\vec{a}\cdot\vec{b}\)\(+|\vec{b}|^2=3 ②\)
①-② 两式相减：\(4\vec{a}\cdot\vec{b}\)\(=\)\(1-3=-2\) \(\implies\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)\(=-\dfrac12\)，答案：\(D\)
解法2：利用极化恒等式求解， \(|\vec{a}+\vec{b}|^2\) \(-\) \(|\vec{a}-\vec{b}|^2\) \(=\) \(4\vec{a}\cdot\vec{b}\)，
则 \(4\vec{a}\cdot\vec{b}=1-3=-2\) ，即 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)\(=-\dfrac12\)，答案：\(D\)
解法3：利用平行四边形对角线性质求解，
平行四边形两条对角线模长平方和等于四边平方和： 即 \(|\vec{a}+\vec{b}|^2+|\vec{a}-\vec{b}|^2=2|\vec{a}|^2+2|\vec{b}|^2\)
给已知两个模长平方作和，\(1+3=\)\(2|\vec{a}|^2+2|\vec{b}|^2\)\(\implies\)\(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2=2\)
再代入\(|\vec{a}+\vec{b}|^2=1\)，\(2+2\vec{a}\cdot\vec{b}=1 \implies \vec{a}\cdot\vec{b}=-\dfrac12\)，答案：\(D\)
稍简题目，涉及向量模块，对一部分学生开始有了难度。
解法1：代入两点坐标，即可求得双曲线的参数\(a\)、\(b\)
由 \((1,0)\) 求得 \(\dfrac{1}{a^2}=1 \implies a=1\)，
由 \((\dfrac{\sqrt{7}}{2},3)\) 得到，\(\dfrac{(\frac{\sqrt7}{2})^2}{1}\)\(-\)\(\dfrac{3^2}{b^2}=1\)\(\implies\)\(\dfrac74\)\(-\)\(\dfrac{9}{b^2}\)\(=1\)，求得 \(b=2\sqrt{3}\)
记清楚这种形式的双曲线对应的渐近线方程为：\(y=\pm\dfrac{b}{a}x\)，故得\(y=\pm2\sqrt3 x\)，答案：\(B\)
❶ 双曲线 \(\dfrac{x^2}{a^2}\)\(-\)\(\dfrac{y^2}{b^2}\)\(=1\) (\(a>0,b>0\))的渐近线 \(y=\pm\dfrac{b}{a}x\)，简记方法：将双曲线的右端改写为 \(0\) ，即 \(\dfrac{x^2}{a^2}\)\(-\)\(\dfrac{y^2}{b^2}\)\(=0\)，变形即可得到渐近线 \(y=\pm\dfrac{b}{a}x\) . 原因可 \(AI\)，以此结论为基础可进行以下的思维训练：
❷ 双曲线 \(\dfrac{y^2}{a^2}\)\(-\)\(\dfrac{x^2}{b^2}\)\(=1\) (\(a>0,b>0\))的渐近线 \(x=\pm\dfrac{b}{a}y\)，整理为 \(y=\pm\dfrac{a}{b}x\)，即 \(x\Rightarrow y\)，\(y\Rightarrow x\)
❸ 双曲线 \(\dfrac{x^2}{b^2}\)\(-\)\(\dfrac{y^2}{a^2}\)\(=1\) (\(a>0,b>0\))的渐近线 \(y=\pm\dfrac{a}{b}x\)，即 \(a\Rightarrow b\)，\(b\Rightarrow a\)
解法2：渐近线定义消常数，由\(a^2=1\)，双曲线方程\(x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1\)，
渐近线满足 \(x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=0\) \(\implies\) \(y=\pm bx\)
只需求\(b\)，代入点\((\dfrac{\sqrt7}{2},3)\) 算出 \(b=2\sqrt3\)，直接得渐近线 \(y=\pm2\sqrt3 x\)，答案：\(B\)
简单题目，涉及双曲线的渐近线，容易混淆出错，难度很小。
解法1：直接法，直接套棱台体积公式，\(V=\cfrac{1}{3}\left(S_{上}+S_{下}+\sqrt{S_{上}S_{下}}\right) h\) ，公式朔源
\(S_{\triangle}=\dfrac{1}{2}ab\sin C\)，将其特殊化即可得到 \(S_{菱形}=\)AB\(^2\cdot\sin60^\circ\)，
故 \(S_{上}=2^2\cdot\sin60^\circ=4\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=2\sqrt3\)，
\(S_{下}=3^2\cdot\sin60^\circ=9\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{9\sqrt3}{2}\)，
\(\sqrt{S_{上}S_{下}}=3\sqrt{3}\)，
代入 棱台体积公式：\(V=\cfrac{1}{3}\left(S_{上}+S_{下}+\sqrt{S_{上}S_{下}}\right) h\)
即 \(V=\dfrac13\cdot\sqrt3(2\sqrt3+3\sqrt3+\dfrac{9\sqrt3}{2})\) \(=\dfrac{19}{2}\)
解法2：间接法，将棱台补体为棱锥求解，棱锥的体积公式好记些。
设补体得到的大棱锥高为 \(H\)，则原来棱台上的小棱锥高 \(H-\sqrt3\)，
这样相似比 \(\dfrac{2}{3}\)\(=\)\(\dfrac{H-\sqrt3}{H}\)，解得大棱锥高为 \(H=3\sqrt3\)，小棱锥高为 \(2\sqrt3\)，
由棱锥体积 \(V_{棱锥}=\dfrac13S\cdot h\) 可知，
\(V_{大棱锥}\)\(=\)\(\dfrac13\)\(\cdot\)\(\dfrac{9\sqrt3}{2}\)\(\cdot3\sqrt3\)\(=\)\(\dfrac{81}{6}\)\(=\)\(\dfrac{27}{2}\)
\(V_{小棱锥}\)\(=\)\(\dfrac13\)\(\cdot2\sqrt3\)\(\cdot2\sqrt3\) \(=\) \(4\)
故 棱台体积 \(V_{棱台}\)\(=\)\(V_{大棱锥}\)\(-\)\(V_{小棱锥}\)\(=\)\(\dfrac{27-8}{2}\)\(=\)\(\dfrac{19}{2}\)，答案：\(D\)
非常常规的求几何体的体积问题，有点送分的意思，但思路选择、公式记忆以及运算功底是较大考验。
解法1：由题目要求，针对甲乙所在的组别分两个类别：
类别1：甲乙都在 A 组时，要求丙、丁两人一个 A 一个 B：
A 组补充 2 人，必须恰好包含丙、丁中的仅 1 人，剩下 1 人从 4 个普通人里选。
选丙不选丁，再配 1 个普通人：\(\mathrm{C}_4^1\)；选丁不选丙，再配 1 个普通人：\(\mathrm{C}_4^1\)；
\(\mathrm{C}_4^1\) \(+\) \(\mathrm{C}_4^1\) \(=\) \(4+4\) \(=8\)，也就是甲乙在 A 组时，合理的分配方案只有8种。
类别2：甲乙都在 B 组时，和上述在 A 组的情形完全对称：
即 B 组已有甲乙，需再选2人，同样必须丙丁一 A 一 B，即 B 补充 2 人只能恰好含丙丁中 1 人：
同样也是 \(\mathrm{C}_4^1\)\(+\)\(\mathrm{C}_4^1\)\(=8\) 种，故总方案有 \(8+8\) \(=\) \(16\) . 故选 \(C\)。基础模型
解法2：最简解法，分步计数原理完成，深入了解请参阅 计数原理
Step1：先选定甲乙两人，甲乙两人绑定在同一组[即捆绑法]，有 \(\mathrm{A}_2^2=2\) 种位置：A 或 B；
Step2：再分配丙丁，丙丁必须分居两组，即甲乙所在的那一组，只能收下丙/丁两人中的其中一人，有 \(\mathrm{C}_2^1=2\) 种 ；
Step3：该组还差 1 人，这 1 个从其余 4 个普通人中任选，有 \(\mathrm{C}_4^1=4\) 种；
综上所述，符合题意得总方案数有 ：\(\mathrm{A}_2^1\)\(\cdot\)\(\mathrm{C}_2^1\)\(\cdot\)\(\mathrm{C}_4^1\) \(=\) \(2\times2\times4=16\) 种，故选 \(C\)。
解法3：间接法解题，思路：先算甲乙同组得全部分配数，再减去其中甲乙同组且丙丁同组的不合规分配数。
步骤1：计算甲乙必须同组的总分配方案数
1.甲乙在 A 组： A 已有 2 人，再从剩下 6 人选 2 人进 A ，剩余 4 人自动去 B，有 \(\mathrm{C}_6^2\) \(=\) \(15\) 种；
2.甲乙在 B 组：同理，从剩余 6 人选 2 人进B，有 \(\mathrm{C}_6^2\) \(=\) \(15\) 种；
则甲乙同组的总方案有：\(15+15\) \(=\) \(30\) 种；
步骤2：计算反面——甲乙同组且丙丁同组的方案数，
同样分甲乙在A、甲乙在B两种情况：
情形1：甲乙都在 A 组，且丙丁同组，分开讨论：
① 甲乙丙丁都在 A 组 ：A 组已满 4 人，剩余 4 人去 B 组，仅 \(\mathrm{C}_4^0=1\) 种；
②甲乙在 A 组，丙丁都在 B 组：A 组已有甲乙，需再选 2 人，从剩下 4 个普通人中选，有 \(\mathrm{C}_4^2=6\) 种；
故甲乙在 A 组且丙丁同组的情形共有 ：\(1+6=7\) 种；
情形2：甲乙都在 B 组，且丙丁同组，和情形1 完全对称，同样 7 种；
故甲乙同组且丙丁同组总方案有 14 种；
步骤3：间接相减得合规方案：\(30-14\) \(=\) \(16\)，故选 \(C\)。
排列组合问题是非常有区分度的题目。会做的不费事，不会的死活不会。掌握一些基本的类型，她的终极用途在求概率时使用。选择题中也不会太难，命题人也知道，太难了都不会。
解法1：二倍角代换化简，\(\alpha\)第二象限，\(\sin\alpha\ne0\)，由 \(3\cdot 2\sin\alpha\cos\alpha\cdot\cos\alpha=8\sin\alpha\cos2\alpha\)
约去\(2\sin\alpha\)，得到 \(3\cos^2\alpha=4\cos2\alpha\)，升次降角[二倍角余弦展开]，
即 \(3\cos^2\alpha=4(2\cos^2\alpha-1)\)， 整理为\(5\cos^2\alpha=4\)
又由于 \(\alpha\) 第二象限，则 \(\cos\alpha\)\(=\)\(-\dfrac{2\sqrt5}{5}\)，进而得到 \(\sin\alpha\)\(=\)\(\dfrac{\sqrt5}{5}\)，勾股数快算
代入求值：\(\dfrac{1+\sin\alpha}{2-\cos\alpha}=\)\(\dfrac{1+\frac{\sqrt5}{5}}{2-(-\frac{2\sqrt5}{5})}=\dfrac{5+\sqrt5}{10+2\sqrt5}=\dfrac{5+\sqrt5}{2(5+\sqrt5)}=\dfrac12\)，答案：\(C\)
此题目属于高考题目中的低档题，比送分题能难一些，思维和运算双考查，思维难度倒不大，但学生普遍对三角函数感觉恐惧；另外在计算 \(\cos\alpha\)和 \(\sin\alpha\) 时容易出错；还有代值计算这一步，施行约分计算比分母有理化要高级一些。
解法2：万能公式法，形式复杂容易混淆，运算量有点大，不推荐，现在基本不要求万能公式法了，仅仅提供思路。
令\(t=\tan\dfrac{\alpha}{2}\)，\(\sin\alpha=\dfrac{2t}{1+t^2}\)，\(\cos\alpha=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\)
先求出\(\cos^2\alpha=\dfrac45\)，\(\sin\alpha=\dfrac{\sqrt5}{5}\)，直接代入目标分式约分，最终结果\(\dfrac12\)，答案：\(C\)
解法1：周期性+偶函数可推导中心对称性，找适合解析式的自变量，列方程求解；
由 \(f(x-2)\) \(=\) \(-f(x)\) \(\implies\) \(f(x-4)\) \(=\) \(f[(x-2)-2]\) \(=\) \(-f(x-2)\) \(=\) \(f(x)\)，故周期 \(T=4\)；
又题目已知给定函数是偶函数，则有 \(f(-x)=f(x)\)，下面要用，接下来基于 \(f(x)+f(x-2)=0\) 赋值，
令\(x=1\)：\(f(1)+f(-1)=0\)，\(f(-1)=f(1)\)，得 \(f(1)=0\)，
令\(x=3\)：\(f(3)+f(1)=0\) \(\implies\) \(f(3)=0\)，\(3\in[\dfrac32,3]\)，代入解析式 \(9+3a+b=0\) ①
又由周期可知：\(f(\dfrac52)=f(\dfrac52-4)=f(-\dfrac32)=f(\dfrac32)\)
\(\dfrac32,\dfrac52\)都在区间\([\dfrac32,3]\)，代入：\((\dfrac32)^2+\dfrac32a+b=(\dfrac52)^2+\dfrac52a+b\)
化简解得：\(a=-4\)，代入① 得到：\(b=3\)，即\(a=-4,b=3\)，故选 \(D\) .
解法2：利用周期性+偶函数可推导轴对称性，即推导对称轴；
由于 \(f(x)\) 周期 \(T=4\)，即 \(f(x+4)=f(x) ①\)，又由于是偶函数，则 \(f(x)=f(-x) ②\)，
结合 ①②，代换 \(f(x)\) 可得到，\(f(x+4)=f(-x)\)，则说明函数 \(f(x)\) 有对称轴 \(x=2\)，
这样，由部分解析式 \(x\) \(\in\) \([\dfrac32,3]\) 时，\(f(x)\)\(=\)\(x^2+ax+b\)，
结合轴对称性，可以完善得到解析式，即 \(x\) \(\in\) \([1,3]\) 时，必有 \(f(x)\)\(=\)\(x^2+ax+b\)，
又由赋值法可得到 \(f(1)=0\)，轴对称性得到 \(f(3)=0\)，且为二次函数，
故有解析式 \(f(x)\)\(=\)\((x-1)(x-3)\)\(=\)\(x^2-4x+3\)，对比得\(a=-4,b=3\)，答案：\(D\)
❶ 这是单项选择题里面的难点题目，也是我比较喜欢总结的题目类型，偏重思维的考查。现在的高考命题讲究难点分散，一般单选的最后一个是难题，也是个考查学生数学素养的高价值题目，几乎每年都有，题型属于综合利用函数的性质解决问题。可以参见：函数性质的综合应用题2-01
❷ 提起函数各种性质，通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、极值等等，其刻画形式无外乎有形的刻画和数的表达两种形式，要关注的是各种性质的数的表达，尤其是单调性、奇偶性、周期性、对称性这四种的刻画形式，非常容易混淆。函数性质给出方式
❸ 条分缕析题目已知的真面目：偶函数 的性质是直接给出的，还可以给的更隐晦些，比如函数 \(f(x-2)\) 的对称轴是直线 \(x=2\)，则意味着 \(f(x)\) 的对称轴是 \(x=0\)，即为偶函数；\(f(x)+f(x-2)=0\)是周期性的间接表达形式，最直接的数的表达是 \(f(x+4)=f(x)\)，难一点的是 \(f(x+2)=f(x-2)\)，用换元 \(x+2\Rightarrow x\) 即可让她显出原形，要再难一点，可以用 \(f(x+2)=f(x+1)-f(x)\)，说透周期性，\(x\) \(\in\) \([\dfrac32,3]\) 时，\(f(x)\)\(=\)\(x^2+ax+b\)，给出的是区间上的解析式，由此也能得知函数的部分性质，比如单调性，对称性、比如特殊值等等，再没有其他已知条件了，剩下的就看你，如何组合使用这些条件了。
❹ 首先廓清认知：函数的奇偶性、周期性、对称性是可以从数的角度相互推导的，且奇偶性是对称性的特例；高中教材中是没有明确给出函数的对称性的数的表达形式的，只是在初中数学中从形的角度做过刻画。本题目中由 \(f(x-2)+f(x)=0\) 和偶函数 \(f(x)=f(-x)\)，可得到 \(f(x-2)+f(-x)=0\) ，这个结果刻画的是函数 \(f(x)\) 是中心对称图像，对称中心是\((-1,0)\)，这一点在作图求解时可以用到。当然再结合偶函数得到 \((1,0)\) 也是对称中心，还可以推出来更多的对称中心。进一步破解刻画难点
❺ 当三种高度相似的性质碰头后，怎么办 ? 轻松辨析三种性质
❻ 这样的题目求解中，往往少不了赋值法的应用，了解更多 赋值法
❼答疑解惑：有人根据题目给出的偶函数，以及给定的解析式，得出 \(f(-x)\) \(=\) \(f(x)\) 恒成立，即 \(x^2\)\(-ax\)\(+b\) \(=\) \(x^2\)\(+ax\)\(+b\)，解得 \(a=0\)，这种求解思路可行吗 ?
解释：基于本题目结果说明，我们知道了 \(x\in[\dfrac{3}{2},3]\) 时，解析式为 \(f(x)\) \(=\) \(x^2-4x+3\)，其实利用偶函数可以求得 \(x\)\(\in\)\([-3,-\dfrac{3}{2}]\) 时，其解析式应该是 \(f(x)\) \(=\) \(x^2+4x+3\)，注意不是 \(f(x)\) \(=\) \(x^2-4x+3\)，也就是说 \(f(x)\) 应该是分段函数，那么套用 \(f(-x)\) \(=\) \(f(x)\) 恒成立时，此时的 \(f(-x)\) 应该用 \(x\in[-3,-\dfrac{3}{2}]\) 上的解析式，这样的话，利用 \(f(-x)\) \(=\) \(f(x)\)应该不能求得 \(a\) 值。
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