2026新高考二卷数学真题及解析 | 解答题01

前情概要

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• 相关说明：2026新高考一卷、二卷数学真题的解析者是 高考100 网站的熊老师，在此致敬！

四、解答题

（本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

【2026年高考全国2卷数学真题第15题】【本小题满分13分】某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出故障的时间（天），然后绘制出有关“首次故障时间”与“对应频率”的频率分布直方图。

（1）求第一四分位数和中位数；

（2）设 \(\hat{p}\) 为首次故障时间小于 \(365\) 天的概率估计值。

（i）求 \(\hat{p}\) ；

（ii）已知该工厂向某用户销售了 \(100\) 件电子元件，\(X\) 为这 \(100\) 件产品首次出现故障时间小于 \(365\) 天的件数，若 \(X\sim B(100,\hat{p})\) ，求 \(E(X)\) 和 \(D(X)\) 。

解答：求每组频率

每组频率 = $\dfrac{\text{频率}}{\text{组距}} \times $ 组距，组距 \(= 10\)

1.\([345,355)\) ：\(0.005\) \(\times\) \(10\) \(=\) \(0.05\)

2.\([355,365)\) ：\(0.010\) \(\times\) \(10\) \(=\) \(0.10\)

3.\([365,375)\) ：\(0.020\) \(\times\) \(10\) \(=\) \(0.20\)

4.\([375,385)\) ：\(0.025\) \(\times\) \(10\) \(=\) \(0.25\)

5.\([385,395)\) ：\(0.015\) \(\times\) \(10\) \(=\) \(0.15\)

6.\([395,405)\) ：\(0.015\) \(\times\) \(10\) \(=\) \(0.15\)

7.\([405,415)\) ：\(0.005\) \(\times\) \(10\) \(=\) \(0.05\)

8.\([415,425]\) ：\(0.005\) \(\times\) \(10\) \(=\) \(0.05\)

（1）求第一四分位数 \(Q_1\) 、中位数 \(M\)

① 第一四分位数（对应累计频率 \(0.25\) ）

累计前1组：\(0.05\) \(<\) \(0.25\)

累计前2组：\(0.05\) \(+\) \(0.10\) \(=\) \(0.15\) \(<\) \(0.25\)

累计前3组：\(0.15\) \(+\) \(0.20\) \(=\) \(0.35\) \(>\) \(0.25\)

因此 \(Q_1\) 落在区间 \([365,375)\) 内。

计算公式：\(Q_1\) \(=\) 区间左端点 \(+\) \(\dfrac{\text{目标累计值}-\text{左侧累计频率}}{\text{本组频率}}\)\(\times\) 组距

代入数值：\(Q_1\) \(=\) \(365\) \(+\) \(\dfrac{0.25-0.15}{0.20} \times 10\)

\(Q_1\) \(=\) \(365\) \(+\) \(\dfrac{0.10}{0.20}\) \(\times\) \(10\)

\(Q_1\) \(=\) \(365\) \(+\) \(5\) \(=\) \(370\)

② 中位数（对应累计频率 \(0.5\) ）

累计前3组：\(0.35\) \(<\) \(0.5\)

累计前4组：\(0.35\) \(+\) \(0.25\) \(=\) \(0.60\) \(>\) \(0.5\)

因此中位数 \(M\) 落在区间 \([375,385)\) 内。

代入公式：

\(M\) \(=\) \(375\) \(+\) \(\dfrac{0.5 - 0.35}{0.25} \times 10\)

\(M\) \(=\) \(375\) \(+\) \(\dfrac{0.15}{0.25} \times 10\)

\(M\) \(=\) \(375\) \(+\) \(6\) \(=\) \(381\)

（2）(i) 求 \(\hat{p}\)

首次故障时间小于 \(365\) 天，对应区间 \([345,355)\) , \([355,365)\)

\(\hat{p}\) \(=\) \(0.05\) \(+\) \(0.10\) \(=\) \(0.15\)

（2）(ii) 求 \(E(X)\) 、\(D(X)\)

由 \(X\sim B(100,\hat{p})\) ，二项分布公式：

期望：\(E(X)\) \(=\) \(n\) \(\cdot\) \(\hat{p}\)

方差：\(D(X)\) \(=\) \(n\) \(\cdot\) \(\hat{p}\) \(\cdot\) \((1-\hat{p})\)

代入 \(n\) \(=\) \(100\) ，\(\hat{p}\) \(=\) \(0.15\) ：

\(E(X)\) \(=\) \(100\) \(\times\) \(0.15\) \(=\) \(15\)

\(D(X)\) \(=\) \(100\) \(\times\) \(0.15\) \(\times\) \((1-0.15)\)

\(D(X)\) \(=\) \(100\) \(\times\) \(0.15\) \(\times\) \(0.85\) \(=\) \(12.75\)

一题多解思路（比例列式法，求四分位数/中位数）

以中位数举例：

设中位数在区间 \([375,385)\) 内向右偏移 \(x\) 天，区间总长 \(10\) ，

左右比例相等：\(\dfrac{x}{10}\) \(=\) \(\dfrac{0.5 - 0.35}{0.25}\)

解得 \(x\) \(=\) \(\dfrac{0.15}{0.25} \times 10\) \(=\) \(6\)

中位数 \(=\) \(375\) \(+\) \(6\) \(=\) \(381\) ，和之前答案一致。

第一四分位数同理：

设偏移 \(x\) 天，\(\dfrac{x}{10}\) \(=\) \(\dfrac{0.25 - 0.15}{0.20}\) ，得 \(x\) \(=\) \(5\) ，\(Q_1\) \(=\) \(365\) \(+\) \(5\) \(=\) \(370\)。

【2026年高考全国2卷数学真题第16题】【本小题满分15分】如图，在三棱锥 \(A-BCD\) 中，点 \(E\) 在 \(BD\) 上，\(AE\) \(\perp\) \(CE\) ，\(AE\) \(\perp\) \(DE\) ，\(CD\) \(\perp\) \(AD\) 。

(1) 求证：\(CD\) \(\perp\) \(AB\) ；

(2) 若 \(DE\) \(=\) \(2\) ，\(BE\) \(=\) \(1\) ，\(AE\) \(=\) \(\sqrt{2}\) ，\(CD\) \(=\) \(2\sqrt{3}\) 。求直线 \(AD\) 与平面 \(\triangle\) \(ABC\) 所成角的正弦值。

(1) 证明:已知 \(AE\) \(\perp\) \(DE\) ，\(AE\) \(\perp\) \(CE\) ，

\(DE\) \(\cap\) \(CE\) \(=\) \(E\) ，\(DE\) 、\(CE\) \(\subset\) 平面 \(BCD\) ，

根据线面垂直判定定理，得 \(AE \perp\) 平面 \(BCD\) 。

又 \(CD\) \(\subset\) 平面 \(BCD\) ，因此 \(AE \perp CD\) 。

已知 \(CD \perp AD\) ，且 \(AE\) \(\cap\) \(AD\) \(=\) \(A\) ，\(AE\) 、\(AD\) \(\subset\) 平面 \(ABD\) ，

根据线面垂直判定定理，得 \(CD \perp\) 平面 \(ABD\) 。

又 \(AB\) \(\subset\) 平面 \(ABD\) ，故 \(CD \perp AB\) 。

(2) 求解

步骤1：建立空间直角坐标系

由(1)知 \(AE \perp\) 平面 \(BCD\) ，以 \(E\) 为原点，

\(EB\) 为 \(x\) 轴，过 \(E\) 作平行于 \(CD\) 的直线为 \(y\) 轴，\(EA\) 为 \(z\) 轴，建立空间直角坐标系。

已知：\(BE\) \(=\) \(1\) ，\(DE\) \(=\) \(2\) ，\(AE\) \(=\) \(\sqrt{2}\) ，\(CD\) \(=\) \(2\sqrt{3}\)

各点坐标：\(E(0,0,0)\) ，\(B(1,0,0)\) ，\(D(-2,0,0)\) ，\(A(0,0,\sqrt{2})\) 。

由 \(CD\) \(\perp\) 平面 \(ABD\) ，\(CD\) \(\parallel\) \(y\) 轴，\(CD\) \(=\) \(2\sqrt{3}\) ，得 \(C(-2,2\sqrt{3},0)\) 。

步骤2：写出相关向量

\(\overrightarrow{AD}\) \(=\) \((-2,0,-\sqrt{2})\) ，\(\overrightarrow{AB}\) \(=\) \((1,0,-\sqrt{2})\) ，\(\overrightarrow{AC}\) \(=\) \((-2,2\sqrt{3},-\sqrt{2})\) 。

步骤3：求平面 \(\triangle\) \(ABC\) 的法向量 \(\vec{n}\) \(=\) \((x,y,z)\)

\(\begin{cases}\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \\\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0\end{cases}\)

代入得方程组：\(x\) \(-\) \(\sqrt{2}z\) \(=\) \(0\)

\(-2x\) \(+\) \(2\sqrt{3}y\) \(-\) \(\sqrt{2}z\) \(=\) \(0\)

令 \(z\) \(=\) \(\sqrt{2}\) ，则 \(x\) \(=\) \(\sqrt{2}z\) \(=\) \(2\) ，

代入第二个式子：\(-4\) \(+\) \(2\sqrt{3}y\) \(-\) \(2\) \(=\) \(0\) ，解得 \(y\) \(=\) \(\dfrac{6}{2\sqrt{3}}\) \(=\) \(\sqrt{3}\) 。

平面 \(\triangle\) \(ABC\) 一个法向量 \(\vec{n}\) \(=\) \((2,\sqrt{3},\sqrt{2})\) 。

步骤4：线面角公式

设直线 \(AD\) 与平面 \(\triangle\) \(ABC\) 所成角为 \(\theta\) ，则

\(\sin\theta\) \(=\) \(|\cos\langle \overrightarrow{AD},\vec{n} \rangle|\) \(=\) \(\dfrac{|\overrightarrow{AD} \cdot \vec{n}|}{|\overrightarrow{AD}| \cdot |\vec{n}|}\)

计算点积：

\(\overrightarrow{AD}\) \(\cdot\) \(\vec{n}\) \(=\) \(-2\) \(\times\) \(2\) \(+\) \(0\) \(\times\) \(\sqrt{3}\) \(+\) \((-\sqrt{2})\) \(\times\) \(\sqrt{2}\) \(=\) \(-4\) \(-\) \(2\) \(=\) \(-6\) ，绝对值 \(|-6|\) \(=\) \(6\) 。

\(|\overrightarrow{AD}|\) \(=\) \(\sqrt{(-2)^2\) \(+\) \(0^2\) \(+\)(-\sqrt{2})^2}$ \(=\) \(\sqrt{4+2}\) \(=\) \(\sqrt{6}\) 。

\(|\vec{n}|\) \(=\) \(\sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2}\) \(=\) \(\sqrt{4+3+2}\) \(=\) \(\sqrt{9}\) \(=\) \(3\) 。

代入： \(\sin\theta\) \(=\) \(\dfrac{6}{\sqrt{6} \times 3}\) \(=\) \(\dfrac{6}{3\sqrt{6}}\) \(=\) \(\dfrac{2}{\sqrt{6}}\) \(=\) \(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)。

答案 直线 \(AD\) 与平面 \(\triangle\) \(ABC\) 所成角的正弦值为 \(\dfrac{\sqrt{6}}{3}\)。

【2026年高考全国2卷数学真题第17题】【本小题满分15分】在 \(\triangle\) \(ABC\) 中，已知 \(\cos B\) \(=\) \(\dfrac{3}{4}\)，\(\cos^2(A+C)\) \(+\) \(\sin A\) \(\sin C\) \(=\) \(1\)。

(1) 证明：\(\triangle\) \(ABC\) 为钝角三角形；

(2) 若 \(\triangle\) \(ABC\) 的面积为 \(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\)，求 \(\triangle\) \(ABC\) 的周长。

(1) 证明：在 \(\triangle\) \(ABC\) 中，\(A\) \(+\) \(C\) \(=\) \(\pi\) \(-\) \(B\)，故 \(\cos(A+C)\) \(=\) \(-\cos B\)。

原式 \(\cos^2(A+C)\) \(+\) \(\sin A\) \(\sin C\) \(=\) \(1\) 替换得：

\((-\cos B)^2\) \(+\) \(\sin A\) \(\sin C\) \(=\) \(1\)，

\(\cos^2 B\) \(+\) \(\sin A\) \(\sin C\) \(=\) \(1\)。

由三角恒等式 \(1\) \(-\) \(\cos^2 B\) \(=\) \(\sin^2 B\)，得：

\(\sin A\) \(\sin C\) \(=\) \(\sin^2 B\)。

由正弦定理 \(\dfrac{a}{\sin A}\) \(=\) \(\dfrac{b}{\sin B}\) \(=\) \(\dfrac{c}{\sin C}\) \(=\) \(2R\)，

即 \(\sin A\) \(=\) \(\dfrac{a}{2R}\)，\(\sin B\) \(=\) \(\dfrac{b}{2R}\)，\(\sin C\) \(=\) \(\dfrac{c}{2R}\)，

代入化简得：\(ac\) \(=\) \(b^2\)。

已知 \(\cos B\) \(=\) \(\dfrac{3}{4}\) \(>\) \(0\)，故 \(B\) 为锐角。

由余弦定理：

\(\cos B\) \(=\) \(\dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\) \(=\) \(\dfrac{3}{4}\)，

又 \(b^2\) \(=\) \(ac\)，代入：\(\dfrac{a^2 + c^2 - ac}{2ac}\) \(=\) \(\dfrac{3}{4}\)，

两边同乘 \(4ac\)：

\(2(a^2 + c^2 - ac)\) \(=\) \(3ac\)，

\(2a^2\) \(+\) \(2c^2\) \(-\) \(2ac\) \(-\) \(3ac\) \(=\) \(0\)，

\(2a^2\) \(-\) \(5ac\) \(+\) \(2c^2\) \(=\) \(0\)。

因式分解：\((2a\) \(-\) \(c)(a\) \(-\) \(2c)\) \(=\) \(0\)，

得 \(c\) \(=\) \(2a\) 或 \(a\) \(=\) \(2c\)。

情况1：\(c\) \(=\) \(2a\)，\(b^2\) \(=\) \(ac\) \(=\) \(2a^2\)，\(b\) \(=\) \(\sqrt{2}a\)，

三边：\(a\)，\(\sqrt{2}a\)，\(2a\)，最大边 \(c\) \(=\) \(2a\)，

计算最大角 \(C\) 的余弦：

\(\cos C\) \(=\) \(\dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) \(=\) \(\dfrac{a^2 + 2a^2 - 4a^2}{2 \cdot a \cdot \sqrt{2}a}\) \(=\) \(\dfrac{-a^2}{2\sqrt{2}a^2}\) \(=\) \(-\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\) \(<\) \(0\)，\(C\) 为钝角。

情况2：\(a\) \(=\) \(2c\)，同理最大边 \(a\)，\(\cos A\) \(<\) \(0\)，\(A\) 为钝角。

因此 \(\triangle\) \(ABC\) 存在钝角，是钝角三角形，得证。

(2) 求解

步骤1：求 \(\sin B\)

\(\cos B\) \(=\) \(\dfrac{3}{4}\)，\(B\) \(\in\) \((0,\pi)\)，

\(\sin B\) \(=\) \(\sqrt{1 - \cos^2 B}\) \(=\) \(\sqrt{1 - \dfrac{9}{16}}\) \(=\) \(\sqrt{\dfrac{7}{16}}\) \(=\) \(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\)。

步骤2：面积公式求 \(ac\)

\(S_{\triangle}\) \(ABC\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}ac\) \(\sin B\) \(=\) \(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\)，

代入 \(\sin B\) \(=\) \(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\)：

\(\dfrac{1}{2}\) \(\cdot\) \(ac\) \(\cdot\) \(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\) \(=\) \(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\)，

约去 \(\dfrac{\sqrt{7}}{4}\)，得 \(\dfrac{1}{2}ac\) \(=\) \(1\)，\(ac\) \(=\) \(2\)。

由(1)知 \(b^2\) \(=\) \(ac\)，故 \(b^2\) \(=\) \(2\)，\(b\) \(=\) \(\sqrt{2}\)。

又 \((2a\) \(-\) \(c)(a\) \(-\) \(2c)\) \(=\) \(0\)，分两种对称情况，取 \(c\) \(=\) \(2a\)：

\(ac\) \(=\) \(a\) \(\cdot\) \(2a\) \(=\) \(2a^2\) \(=\) \(2\)，得 \(a^2\) \(=\) \(1\)，\(a\) \(=\) \(1\)，则 \(c\) \(=\) \(2\)。

三边：\(a\) \(=\) \(1\)，\(b\) \(=\) \(\sqrt{2}\)，\(c\) \(=\) \(2\)。

步骤3：计算周长

\(L\) \(=\) \(a\) \(+\) \(b\) \(+\) \(c\) \(=\) \(1\) \(+\) \(\sqrt{2}\) \(+\) \(2\) \(=\) \(3\) \(+\) \(\sqrt{2}\)

若取 \(a\) \(=\) \(2\)，\(c\) \(=\) \(1\) ，三边不变，周长相同。

答案 三角形周长为 \(3\) \(+\) \(\sqrt{2}\)。