配方法新说
配方法是初中所学的内容，但是高中数学中经常使用，比如二次函数中，圆中等等。
前言
使用公式
注意，平时使用正用公式\((a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2\)，目的是将完全平方式展开，便于下一步合并计算；但涉及到配方法时，却是逆用刚才的公式，\(a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2\)，目的是找到函数的对称轴，便于判断其单调性等，由于使用的目的不一样，故公式的使用方向也就不一样。
案例说明
\(\begin{array}{l}分析：f(x)&=-2x^2+5x+3=-2(x^2-\cfrac{5}{2}x)+3 \\ &=-2(x^2-\cfrac{5}{2}x+\triangle )+3+2\triangle \\ &=-2[x^2-\cfrac{5}{2}x+(-\cfrac{5}{4})^2]+3+2\times(-\cfrac{5}{4})^2\\ &=-2(x-\cfrac{5}{4})^2+\cfrac{49}{8}\end{array}\)
⚠️ 配方法步骤
①若有常数项，先将常数项放置到最右边，用意是暂时不让常数项影响我们的配方思路；即\(f(x)=ax^2+bx+c\)\(=(ax^2+bx)+c\)
②将二次项的系数化为\(1\)，在一次项和常数项后边分别空出空位，如\(\triangle\)所示；由于小括号前边有系数\(a\)，故后边要减去\(a\cdot \triangle\)，才能保证是恒等变形；即\(f(x)=a(x^2+\cfrac{b}{a}x+\triangle )+c-a\cdot \triangle\)；
③在小括号里边的空位处\(\triangle\)，添加项[一次项系数一半的平方]\((\cfrac{b}{2a})^2\)，为保证等价变形，在括号外的\(\triangle\)处也添加项\((\cfrac{b}{2a})^2\)，整理为\(f(x)=a[x^2+\cfrac{b}{a}x+(\cfrac{b}{2a})^2]+c-a\cdot(\cfrac{b}{2a})^2\)；
④化简整理为\(f(x)=a(x+\cfrac{b}{2a})^2+c-\cfrac{b^2}{4a}=a(x+\cfrac{b}{2a})^2+\cfrac{4ac-b^2}{4ac}\)；到此配方完成。
对应练习
\(=\cfrac{3}{2}[(\cfrac{1}{x})^2-\cfrac{2}{3}\times\cfrac{1}{x}+(\cfrac{1}{3})^2]-\cfrac{3}{2}\times (\cfrac{1}{3})^2\)
\(=\cfrac{3}{2}(\cfrac{1}{x}-\cfrac{1}{3})^2-\cfrac{1}{6}\)，
分析：本题目本质就是配方法在三角函数中的应用；
\(2\cos^2x(\cos^2x-1)+\cfrac{1}{2}\)\(=\)\(2\cos^4x-2\cos^2x+\cfrac{1}{2}\)
\(=\cfrac{1}{2}(4\cos^4x-4\cos^2x+1)\)\(=\cfrac{1}{2}(2\cos^2x-1)^2\)
\(=\cfrac{1}{2}\cos^22x\)
常规使用
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二次函数配方求对称轴，如\(f(x)=-2x^2+5x+3=-2(x-\cfrac{5}{4})^2+\cfrac{49}{8}\)，故对称轴为\(x=\cfrac{5}{4}\)；
-
圆方程配方求圆心和半径，如\(x^2+y^2-2x+4y=0\)，配方为\((x-1)^2+(y+2)^2=5=(\sqrt{5})^2\)，故圆心为\((1，-2)\)，半径为\(r=\sqrt{5}\)；
-
如果 \(x^2+y^2-2x+6y+10=0\)， 则 \(x+y=-2\). [1]
高阶配方
使用高阶配方法，主要是为了函数或者代数式的进一步化简、变形做准备，可能还会用到常数代换等其他方法。用以下例子仔细体会；
-
如\(f(x)=\cfrac{x^2-2x+2}{x-1}=\cfrac{(x^2-2x+1)+1}{x-1}\)\(=\cfrac{(x-1)^2+1}{x-1}\)\(=(x-1)+\cfrac{1}{x-1}\)，便于利用模板函数\(y=x+\cfrac{1}{x}\)变形得到\(f(x)\)；
-
如\(f(\theta)=sin^4\theta+cos^4\theta=(sin^2\theta+cos^2\theta)^2-2sin^2\theta\cdot cos^2\theta\)\(=1-\cfrac{1}{2}sin^22\theta\)\(=1-\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{1-cos4\theta}{2}\)\(=\cfrac{1}{4}cos4\theta+\cfrac{3}{4}\)
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\(\sqrt{1-2sin2cos2}=\sqrt{sin^22+cos^22-2sin2cos2}\)\(=\sqrt{(sin2-cos2)^2}\)\(=|sin2-cos2|\)\(=sin2-cos2\);
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\(x+\cfrac{1}{x}=t\)，则\(x^2+\cfrac{1}{x^2}=(x+\cfrac{1}{x})^2-2=t^2-2\)；
-
\(\cfrac{n^2}{m^2}+\cfrac{m^2}{n^2}+2=(\cfrac{n}{m}+\cfrac{m}{n})^2\)；如果令 \(\cfrac{n}{m}=t\)，则原式\(=(t+\cfrac{1}{t})^2\)
\(\cfrac{n^2}{m^2}+\cfrac{m^2}{n^2}-2=(\cfrac{n}{m}-\cfrac{m}{n})^2\)；如果令 \(\cfrac{n}{m}=t\)，则原式\(=(t-\cfrac{1}{t})^2\)
- 如果将公式 \(a^2+2ab+b^2\) 中的\(a\)，\(b\)的内涵作以推广理解，则下面的化简就能理解了：
比如，\(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\)，令 \(a=m+n\)，则有
\((m+n)^2+2(m+n)b+b^2=(m+n+b)^2\)；
\(1+\sin\theta+\cos\theta+\sin\theta\cos\theta=\cfrac{1}{2}+\sin\theta+\cos\theta+\sin\theta\cos\theta+\cfrac{1}{2}\)
\(=\cfrac{1}{2}(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+\sin\theta\cos\theta+\sin\theta+\cos\theta+\cfrac{1}{2}\)
\(=\cfrac{1}{2}[(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+2\sin\theta\cos\theta]+\sin\theta+\cos\theta+\cfrac{1}{2}\)
\(=\cfrac{1}{2}(\sin\theta+\cos\theta)^2+\sin\theta+\cos\theta+\cfrac{1}{2}\)
\(=\cfrac{1}{2}[(\sin\theta+\cos\theta)^2+2(\sin\theta+\cos\theta)+1]\)
\(=\cfrac{1}{2}(\sin\theta+\cos\theta+1)^2\)
当然也有，\(1+\sin\theta+\cos\theta+\sin\theta\cos\theta=(1+\sin\theta)(1+\cos\theta)\)
典型案例
\(\cfrac{8(y_0x_0^3+x_0y_0^3)}{2x_0^4+2y_0^4+5x_0^2y_0^2}\)\(\xlongequal[化简]{给分子分母同除以x_0^2y_0^2}\)
\(=\cfrac{8(\frac{x_0}{y_0}+\frac{y_0}{x_0})}{2(\frac{x_0}{y_0})^2+2(\frac{y_0}{x_0})^2+5}\)
\(=\cfrac{8(\frac{x_0}{y_0}+\frac{y_0}{x_0})}{2[(\frac{x_0}{y_0})^2+(\frac{y_0}{x_0})^2+2]+1}\)
\(=\cfrac{8(\frac{x_0}{y_0}+\frac{y_0}{x_0})}{2(\frac{x_0}{y_0}+\frac{y_0}{x_0})^2+1}\)
令\(t=\frac{x_0}{y_0}+\frac{y_0}{x_0}\)，则\(t\geqslant 2\)，
则\(S_{\triangle PQG}=\cfrac{8t}{2t^2+1}=\cfrac{8}{2t+\frac{1}{t}}\)
利用对勾函数\(f(t)=2t+\cfrac{1}{t}\)在\([2，+\infty)\)上的单调性可知，
\(f(t)\geqslant 4+\cfrac{1}{2}=\cfrac{9}{2}\)(当\(t=2\)时取到等号)
所以\(S_{\triangle PQG}\leqslant \cfrac{8}{\frac{9}{2}}=\cfrac{16}{9}\)
故\(\triangle PQG\)面积的最大值为\(\cfrac{16}{9}\).
最终结论：\(x+y\) 的最大值为 \(2\sqrt{3}\)，最小值为 \(-2\sqrt{3}\)，即取值范围为 \(x+y \in [-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]\) .
引申：同时由我们研究过的线性表示，可以将以下的好多种解法思路，拓展到求解 \(ax+by\)(\(a\in R\)、\(b\in R\)) 的取值范围 .
解法❶：【艾劳曼斯同学提供思路，换元系列解法-解法1】三角换元法，这个解法思路常规、步骤易懂，适配高考、期中期末等应试场景，但是换元思路在高中阶段非常少见。
配方，将原等式整理为 \((x-y)^2+xy=3\) [2]
三角换元：令\(x-y=\sqrt{3}\cos\theta\)，\(xy=3\sin^2\theta\)，
推导\((x+y)^2\)：利用完全平方公式展开，
\((x+y)^2=(x-y)^2+4xy\)，代入换元式得：
\((x+y)^2=3\cos^2\theta+12\sin^2\theta=3+9\sin^2\theta\)
确定取值范围：由\(\sin^2\theta\in[0,1]\)，可得 \(3+9\sin^2\theta\leq12\)，即 \((x+y)^2\leq12\)
开方得到，\(-2\sqrt{3}\leq x+y \leq2\sqrt{3}\)，
因此 \(x+y\) 的最大值为\(2\sqrt{3}\)，最小值为\(-2\sqrt{3}\)。
解法❷：【艾劳曼斯同学提供思路，换元系列解法-解法2】标准三角换元法，高中基础解法[考试必拿分]，这类解法思路常规、步骤易懂，适配高考、期中期末等应试场景，无超纲知识点，干净利落，但是配方的过程比较复杂。
核心思路：将约束式配方为椭圆标准型，利用三角恒等式换元，转化为三角函数值域问题。
对约束式配方：\(\left(x-\cfrac{y}{2}\right)^2\)\(+\)\(\left(\cfrac{\sqrt{3}}{2}y\right)^2\)\(=\)\(3\) [3]
三角换元：令 \(x-\cfrac{y}{2}=\sqrt{3}\cos\theta\)，\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}y=\sqrt{3}\sin\theta\)；
解出 \(x=\sqrt{3}\cos\theta+\sin\theta\)，\(y=2\sin\theta\)；
合并 \(x+y=3\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta=2\sqrt{3}\sin(\theta+\varphi)\)（辅助角公式）；
由正弦函数值域 \([-1,1]\)，得 \(x+y \in [-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]\)。
解法❻：【艾劳曼斯同学提供思路，不等式系列解法-解法2】配方后使用基本不等式法，高中基础解法（考试必拿分），这类解法思路常规、步骤易懂，适配高考、期中期末等应试场景，无超纲知识点。细看解法基本同于解法五。
\(x^2+y^2-xy=3\)，配方得到，\((x+y)^2-3xy=3\)，
即 \((x+y)^2-3=3xy\) ，又 \(3\) \(\cdot\) \(xy\) \(\leq\) \(3\times\left(\cfrac{x+y}{2}\right)^2\)，即 \((x+y)^2-3\leq 3\times\left(\cfrac{x+y}{2}\right)^2\)，
整理为 \((x+y)^2 \leq 12\)，开方得\(-2\sqrt{3}\leq x+y \leq2\sqrt{3}\)，
因此 \(x+y\) 的最大值为\(2\sqrt{3}\)，最小值为\(-2\sqrt{3}\)。
解法❼：【艾劳曼斯同学提供思路，不等式系列解法-解法3】配方后使用柯西不等式法，有超纲知识点。
柯西不等式：\((ac+bd)^2\)\(\leq\)\((a^2+b^2)(c^2+d^2)\)
对约束式配方：\(\left(x-\cfrac{y}{2}\right)^2\)\(+\)\(\left(\cfrac{\sqrt{3}}{2}y\right)^2\)\(=\)\(3\)；
\(12=3\times4\)
\(=\left[(x-\cfrac{y}{2})^2+(\cfrac{\sqrt{3}}{2}y)^2\right]\cdot\left[1^2+(\sqrt{3})^2\right]\)
\(\geq\left[(x-\cfrac{y}{2})\times1+\cfrac{\sqrt{3}}{2}y\times\sqrt{3}\right]^2=(x+y)^2\)
整理为 \((x+y)^2 \leq 12\)，开方得\(-2\sqrt{3}\leq x+y \leq2\sqrt{3}\)，
因此 \(x+y\) 的最大值为\(2\sqrt{3}\)，最小值为\(-2\sqrt{3}\)。
解法㉓：【知乎姜很犟提供思路】配方法，非常特别的思路
题目已知 \(x^2+y^2-xy=3\)，对此配方得到 [4]
所以 \(3(\cfrac{x}{\sqrt{2}}-\cfrac{y}{\sqrt{2}})^2\)\(+\)\((\cfrac{x}{\sqrt{2}}+\cfrac{y}{\sqrt{2}})^2=6\)，
整理得 \((x+y)^2+3(x-y)^2=12\)，
由于 \((x+y)^2\geq 0\)， \((x-y)^2\geq 0\)，故 \(|x+y|\leq \sqrt{12}=2\sqrt{3}\)
所以，\(x+y\) 的最大值是 \(2\sqrt{3}\)，最小值是 \(-2\sqrt{3}\)。
解析： 由 \(x^2+y^2-2x+6y+10=0\)，将常数 \(10\) 拆分配方得到， \((x^2-2x+1)+(y^2+6y+9)=0\)，即 \((x-1)^2+(y+3)^2=0\)，故 \(x=1\)，\(y=-3\)，则有 \(x+y=-2\)。 ↩︎
这个配方的方向，还是比照着 \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) 来的，同时感觉换元的做法很大胆，思维很开阔。 ↩︎
这个配方的方向，也还是比照着 \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)，同时还有要消去 \(xy\)，把它涵盖在平方项下面。 ↩︎
注：下述的配方很特别，目的是为了配凑两个平方数之和
配方过程：给原式乘2，得到 \(2x^2+2y^2-2xy=6\)，
即 \(\cfrac{4x^2}{2}+\cfrac{4x^2}{2}-2xy=6\)，
也即 \(3(\cfrac{x^2}{2}-xy+\cfrac{y^2}{2})+(\cfrac{x^2}{2}+xy+\cfrac{y^2}{2})=6\)
则 \(3\left[(\cfrac{x}{\sqrt{2}})^2-2\times\cfrac{x}{\sqrt{2}}\times\cfrac{y}{\sqrt{2}}+(\cfrac{y}{\sqrt{2}})^2\right]+\left[(\cfrac{x}{\sqrt{2}})^2+2\times\cfrac{x}{\sqrt{2}}\times\cfrac{y}{\sqrt{2}}+(\cfrac{y}{\sqrt{2}})^2\right]=6\) ↩︎
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