高中数学中需要重点关注的函数和图像

性质综合应用

• 在函数性质的综合应用中需要关注的函数

常见的奇函数：\(f(x)=kx\)；\(f(x)=x^3\)；\(f(x)=x^k\)(\(k\)为正奇数)；\(y=Asin\omega x\)；

\(y=e^x-e^{-x}\)；\(y=2^x-2^{-x}\)；\(y=ln\cfrac{x+1}{x-1}\)；

常见的偶函数：\(f(x)=x^2\)；\(y=k|x|(k\in R)\)；\(y=e^{|x|}\)；\(f(x)=x^k\)(\(k\)为正偶数)；

\(y=Acos\omega x\)；\(y=e^x+e^{-x}\)；\(y=2^x+2^{-x}\)；

考查方向：可能需要用到每个部分的奇偶性，

比如函数\(f(x)=ln(|x|-1)-log_{0.5}(x^2+1)\)，就是偶函数；

图像变换

• 在函数图像变换、函数与方程中需要关注的函数

\(y=|x|\)；\(y=a^{|x|}(a >1)\)；\(y=a^{|x|}(0< a <1)\)；\(y=|x^2-2x-4|\)；

\(y=lg|x|\)；\(y=|lg|x||\)；\(y=|lgx|\)；\(y=e^x+e^{-x}\)；\(y=2^x+2^{-x}\)；

• 同时请注意以下函数中的参数\(a\)的作用；
  

\(y=a\cdot x^2\)；\(y=a\cdot |x|\)；\(y=|x+a|\)；\(y=a\cdot e^x\)；\(y=a\cdot lnx\)

• 函数\(y=\sqrt{1-x^2}\)，

由单位圆\(x^2+y^2=1\)可知，\(0<y<\sqrt{1-x^2}\)指\(x\)轴上方的单位圆的内部。

• 函数\(y=\sqrt{4-\cfrac{4x^2}{9}}\)

由椭圆\(\cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}=1\)可知，\(0<y<\sqrt{4-\cfrac{4x^2}{9}}\)指\(x\)轴上方的椭圆内部。

函数与导数

• 在函数与导数应用中需要关注的函数

\(y=x\cdot lnx\)，\(y=\cfrac{lnx}{x}\)，\(y=x\cdot e^x\)，\(y=\cfrac{e^x}{x}\)，

不等式证明

在不等式证明中中需要关注的函数：

函数\(f(x)=e^x-x-1\)在\((-\infty，0)\)上单调递减，在\((0，+\infty)\)上单调递增；

体现在函数的图像上(形)，函数\(y=e^x\)的图像恒在函数\(y=x+1\)的上方；

体现在大小关系上(数)，\(e^x\ge x+1\)；

• 函数\(f(x)=x-1-lnx\)在\((0，1)\)上单调递减，在\((1，+\infty)\)上单调递增；

体现在函数的图像上(形)，函数\(y=x-1\)的图像恒在函数\(y=lnx\)的上方；

体现在大小关系上(数)，\(x-1\ge lnx\)；