数学印记

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摘要： 取基础域为 \(\mathbb k\). 令 \(G\) 是一个群，同态 \(\rho\colon\ G\longrightarrow GL(V)\) 给出 \(G\) 的表示 \((V,\rho)\)，其中 \(V\) 是线性空间. 我们称 \(V\) 是 \(G-\)模. 令 \(V\) 是 \ 阅读全文

摘要： 对 \(a,b\in \mathbb Z,b>0\)，令 \(N_{a,b}:=a+b\mathbb Z\). 凡 \(N_{a,b}\) 构成 \(\mathbb Z\) 的一组（拓扑）基：因为 \(\mathbb Z=N_{0,1}\) 且 \(N_{a,b_1b_2}\subset N_{a, 阅读全文

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摘要： 设 \(\mathbb R^n\) 指定了标准拓扑 \(\mathcal O\)，\(E\subset \mathbb R^n\)，定义 \(E\) 中的开集族 \[\mathcal O_{E}=\{O\cap E\mid O\in \mathcal O\} \]易验证 \((E,\mathcal 阅读全文

摘要： 设 \(F\) 是代数闭域，\(V\) 是 \(F\) 上的 \(n\) 维线性空间. 对于 \(V\) 上的线性算子 \(\mathcal A\)， \[\mathcal A=\mathcal A_s+\mathcal A_n \]称为 \(\mathcal A\) 的 Jordan-Cheval 阅读全文

摘要： 对角化 这部分是我们熟知的，在此不加证明地给出 \(V\) 上线性变换 \(\mathcal A\) 可对角化的几类刻画： (1) 存在由特征向量构成的一组基. (2) \(V\) 可分解为全体特征子空间的直和. (3) \(\mathcal A\) 的特征多项式在基础域分裂，且特征值的几何重数等于 阅读全文

摘要： 对偶空间 对于域 \(F\) 上线性空间 \(V\)，\(V\) 上的线性函数指的是映射 \(f\colon V\rightarrow F\)，满足对于任意 \(u,v\in V,\alpha,\beta\in F\)， \[f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta 阅读全文

摘要： 零测度集 Defn 1.1. 设集合 \(E\subset R\). 如果对于任意 \(\varepsilon>0\)，\(E\) 可被至多可数的开区间族 \(\{I_k\}\) 覆盖，并且 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}|I_k|\le \varepsilon 阅读全文

摘要： (L’Hospital law) Suppose \(f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb R\) and \(g\colon(a,b)\rightarrow \mathbb R\) are differiential in \((a,b)\) (\(-\infty\le 阅读全文