同时对角化与上三角化

对角化

这部分是我们熟知的，在此不加证明地给出 \(V\) 上线性变换 \(\mathcal A\) 可对角化的几类刻画：

(1) 存在由特征向量构成的一组基.

(2) \(V\) 可分解为全体特征子空间的直和.

(3) \(\mathcal A\) 的特征多项式在基础域分裂，且特征值的几何重数等于其代数重数.

(4) \(\mathcal A\) 的极小多项式是不同的一次因式的乘积.

上三角化

设 \(V\) 是域 \(F\) 上的 \(n\) 维线性空间，\(\mathcal A\) 是 \(V\) 上的线性算子.

Theorem 2.1. 算子 \(\mathcal A\) 可上三角化当且仅当 \(\chi_{\mathcal A}(t)\) 在域 \(F\) 上分裂.

证明：必要性是显然的，下证充分性.

对 \(V\) 的维数进行归纳，\(\mathcal A\) 的特征多项式在域 \(F\) 上分裂，则存在特征值 \(\lambda\). 因此 \(\mathcal A\) 的不变子空间 \({\rm im}(\mathcal A-\lambda\mathcal I)\) 的维数严格小于 \(n\). 假设命题对所有维数小于 \(n\) 的线性空间成立，则算子 \(\bar{\mathcal A}=\mathcal A|{\rm im}(\mathcal A-\lambda\mathcal I)\) 可上三角化. 即可取 \({\rm im}(\mathcal A-\lambda\mathcal I)\) 的有序基 \((e_1,e_2,\cdots,e_{n-r})\)，使得 \(\bar{\mathcal A}\) 在此基下的矩阵是上三角阵.

将这组向量扩充为 \(V\) 的基 \((e_1,e_2,\cdots,e_n)\)，则当 \(i>n-r\) 时

\[\mathcal A e_i=\lambda e_i+(\mathcal A-\lambda\mathcal I)e_i\subset \langle e_1,e_2,\cdots,e_i\rangle \]

即 \(V\) 在此基下的矩阵是上三角阵.

同时对角化

设 \(V\) 是域 \(F\) 上的 \(n\) 维线性空间，\(\mathcal A,\mathcal B\) 是 \(V\) 上的线性算子且可交换.

lemma 2.1 算子 \(\mathcal A\) 的特征子空间是 \(\mathcal B\) 的不变子空间.

证明：设 \(\lambda_0\) 是 \(\mathcal A\) 的特征向量，则由 \(\alpha\in V^{\lambda_0}\) 给出 \(\mathcal A(\mathcal B\alpha)=\mathcal B(\mathcal A\alpha)=\mathcal B(\lambda_0\alpha)=\lambda_0(\mathcal B\alpha)\)，即 \(\mathcal B\alpha\in V^{\lambda_0}\)，从而 \(V^{\lambda_0}\) 是 \(\mathcal B\) 的不变子空间.

Theorem 2.2. 若算子 \(\mathcal A,\mathcal B\) 的特征多项式在域 \(F\) 上分裂，则 \(\mathcal A,\mathcal B\) 存在公共特征向量.

证明：任取 \(\mathcal A\) 的特征子空间 \(V_0\)，则 \(V_0\) 是 \(\mathcal B\) 的不变子空间，\(\chi_{\mathcal B|V_0}(t)\) 整除 \(\chi_{\mathcal B}(t)\). 因此 \(\chi_{\mathcal B|V_0}(t)\) 在域 \(F\) 上分裂，取 \(\mathcal B|V_0\) 的特征值 \(\mu_0\) 和相应的特征向量 \(\alpha\). 则 \(\alpha\) 是 \(\mathcal A,\mathcal B\) 的公共特征向量.

Theorem 2.3. 若算子 \(\mathcal A,\mathcal B\) 均可对角化，则可同时对角化.

证明：将 \(V\) 写成算子 \(\mathcal A\) 的特征子空间的直和

\[V=V_1\oplus V_2\oplus\cdots+\oplus V_s \]

记 \(\mathcal B_i=\mathcal B|V_i\)，已知 \(\chi_{\mathcal B}(t)=\displaystyle\prod_{i=1}^s\chi_{\mathcal B_i}(t)\)，且 \(\chi_{\mathcal B_i}(t)\) 在域 \(F\) 上分裂，即 \(\mathcal B_i\) 有约当标准型. 对每个 \(\mathcal B_i\) 取一组 Jordan 基，合起来即 \(\mathcal B\) 的 Jordan 基，从而将 \(\mathcal B\) 对角化，当然也将 \(\mathcal A\) 对角化.

同时上三角化

设 \(V\) 是域 \(F\) 上的 \(n\) 维线性空间，\(\mathcal A,\mathcal B\) 是 \(V\) 上的线性算子且可交换.

Theorem 3.1. 若算子 \(\mathcal A,\mathcal B\) 的特征多项式在域 \(F\) 上分裂，则 \(\mathcal A,\mathcal B\) 可同时上三角化.

证明：对 \(V\) 的维数做归纳，对偶算子 \(\mathcal A^\vee,\mathcal B^\vee\) 可交换且特征多项式在域 \(F\) 上分裂，因此存在公共特征向量 \(f\in V^\vee\). 因为 \(f\ne 0\)，所以 \(\dim\ker f=n-1.\) 而 \(\ker f\) 是算子 \(\mathcal A,\mathcal B\) 共同的不变子空间. 可假设 \(\mathcal A|\ker f,\mathcal B|\ker f\) 同时被 \(\ker f\) 的一组基上三角化，将这组基扩为 \(V\) 的基，又同时将 \(\mathcal A,\mathcal B\) 上三角化.