对偶空间

对偶空间

对于域 \(F\) 上线性空间 \(V\)，\(V\) 上的线性函数指的是映射 \(f\colon V\rightarrow F\)，满足对于任意 \(u,v\in V,\alpha,\beta\in F\)，

\[f(\alpha u+\beta v)=\alpha f(u)+\beta f(v) \]

\(V\) 上线性函数的集合用我们熟知的记号可表示为 \(\hom (V,F)\)，此时我们将其记为 \(V^{\vee}\)，称之为 \(V\) 的对偶空间.

若 \(V\) 是有限维线性空间，则 \(\dim V^{\vee}=\dim \hom(V,F)=\dim V\cdot\dim F=\dim V\)，因此有 \(V^{\vee}\cong V.\) 以下讨论均默认 \(V\) 是有限维的.

对偶基

设 \(v_1,\cdots,v_n\) 是 \(V\) 的一组有序基，\(\check v_1,\cdots,\check v_n\) 是 \(V^{\vee}\) 的一组有序基，称这两组有序基对偶，如果

\[\check v_i(v_j)=\delta_{ij} \]

等价的，双线性型 \(V^{\vee}\times V\rightarrow F,(f,v)\mapsto f(v)\) 在这两组有序基下的矩阵为单位矩阵.

因此，如果有 \(f=\displaystyle \sum_{i=1}^n \beta_i\check v_i,v=\sum_{i=1}^n\alpha v_i\)，则 \(\displaystyle(f,v)=f(v)=\sum_{i=1}^n\alpha_i\beta_i.\)

lemma 2.1. 任取 \(V\) 的一组有序基，在 \(V^{\vee}\) 中存在唯一一组有序基与之对偶.

证明：取 \(V\) 中有序基 \(v_1,\cdots,v_n\)，则 \(\check v_1,\cdots,\check v_n\) 已由下式唯一确定：

\[\check v_i\left(\sum_{j=1}^n x_jv_j\right)= x_i \]

而对任意 \(f\in V^{\vee},v=\displaystyle \sum_{i=1}^n x_iv_i\)，均有

\[f(v)=\sum_{i=1}^n x_i f(v_i)=\sum_{i=1}^n \check v_i(v)f(v_i) \]

从而 \(f=\displaystyle \sum_{i=1}^nf(v_i) \check v_i\)，即 \(\check v_1,\cdots,\check v_n\) 确是 \(V^{\vee}\) 的基，从而引理得证.

Theorem 2.2. 设 \(v_1,\cdots,v_n\) 与 \(w_1,\cdots, w_n\) 为 \(V\) 的两组有序基,
且 \(v_1,\cdots,v_n\) 向 \(w_1,\cdots,w_n\) 的转移矩阵为 \(A\). 则对偶基 \(\check w_1,\cdots,\check w_n\) 向 \(\check v_1,\cdots,\check v_n\) 的转移矩阵为 \(A^{\rm T}.\)

证明：令 \(A=(a_{ij})_{i,j}\)，则

\[\check v_i(w_j)=\check v_i\left(\sum_{k=1}^n a_{kj}v_k\right)=a_{ij} \]

从而 \(\check v_i=\displaystyle\sum_{j=1}^n\check v_i(w_j)\check w_j=\sum_{j=1}^na_{ij}\check w_j\)，这表明 \((\check v_1,\cdots,\check v_n)=(\check w_1,\cdots,\check w_n)A^{\rm T}\)，证毕.

双重对偶空间

记号 \((V^\vee)^\vee\) 表示 \(V^\vee\) 的对偶空间，称之为 \(V\) 的双重对偶空间，考虑

\[\varepsilon\colon V\rightarrow (V^{\vee})^\vee,v\mapsto \varepsilon_v \]

其中 \(\varepsilon_v\) 由 \(\varepsilon_v\colon V^{\vee}\rightarrow F,f\mapsto f(v)\) 给出.

显然 \(\varepsilon\) 是线性映射，为 \(V\) 指定一组基 \(v_1,v_2,\cdots,v_n\)，则

\[\varepsilon_{v_i}(\check v_j)=\check v_j(v_i)=\delta_{ij} \]

因此 \(\varepsilon_{v_1},\cdots,\varepsilon_{v_n}\) 是 \(\check v_1,\cdots,\check v_n\) 的对偶基，即知 \(\varepsilon\) 是同构映射.

自然同构 \(\varepsilon\) 使得 \(V\) 与 \((V^{\vee})^{\vee}\) 可完全等同看待，借用这一观点，考虑 \(V^{\vee}\) 中任意一组有序基 \(f_1,\cdots,f_n\)，其在 \((V^{\vee})^{\vee}\) 中的对偶基 \(v_1,\cdots,v_n\) 也给出 \(V\) 中的基. 我们仅需重申

\[v_i(f_j)=f_j(v_i) \]

即知 \(v_1,\cdots,v_n\) 确是 \(f_1,f_2,\cdots,f_n\) 在 \(V\) 中的对偶基.

进一步我们得出与引理 2.1 对偶的命题，即 \(V^{\vee}\) 中的所有基都必有唯一确定的与之对偶的 \(V\) 的基.

对偶映射

设 \(\mathcal A\colon V\rightarrow W\) 是线性映射，定义其对偶映射

\[\mathcal A^\vee\colon W^\vee\rightarrow V^\vee,\ f\mapsto f\mathcal A \]

显然 \(\mathcal A^{\vee}\) 是线性映射.

Theorem 4.1. 若 \(v_1,\cdots,v_n\) 与 \(w_1,\cdots,w_m\) 分别为 \(V\) 和 \(W\) 的两组有序基，且 \(\mathcal A\) 在这两组基下的矩阵为 \(A\)，则 \(\mathcal A^{\vee}\) 在有序基 \(\check w_1,\cdots,\check w_m\) 和 \(\check v_1,\cdots,\check v_n\) 下的矩阵为 \(A^{\rm T}.\)

证明：设 \(A=(a_{ij})_{i,j}\)，则

\[\check w_i\mathcal A(v_j)=\check w_i\left(\sum_{k=1}^m a_{kj}w_k\right)=a_{ij} \]

因此 \(\displaystyle\mathcal A^{\vee}(\check w_i)=\check w_i\mathcal A=\sum_{j=1}^n\check w_i\mathcal A(v_j)\check v_j=\sum_{j=1}^n a_{ij}\check v_j\)，这表明 \(\mathcal A^\vee(\check w_1,\cdots,\check w_m)=(\check v_1,\cdots,\check v_n)A^{\rm T}.\) 证毕.

Defn 4.2. （零化子）设 \(U\subset V\) 是 \(V\) 的子空间，定义 \(U\) 的零化子

\[U^{0}=\{f\in V^{\vee}\mid f(u)=0,\forall u\in U\} \]

显然 \(U^{0}\) 是 \(V^{\vee}\) 的子空间.

lemma 4.3. 设 \(U\subset V\) 是 \(V\) 的子空间，则 \(\dim U^{0}=\dim V-\dim U.\)

证明：取 \(U\) 的一组基 \(v_1,\cdots,v_r\)，则线性映射

\[\varphi\colon V^{\vee}\rightarrow F^r,\ f\mapsto (f(v_1),\cdots,f(v_r)) \]

是满射，且 \(\ker\varphi=U^{0}\)，从而 \(\dim U^{0}=\dim\ker U^0=\dim V^{\vee}-\dim F^r=\dim V-\dim U.\)

lemma 4.4. 对偶映射 \(\mathcal A^{\vee}\) 的核与像的维数由

\[\dim\ker \mathcal A^{\vee}=\dim W-{\rm rank}\mathcal A,\ \ {\rm rank}\mathcal A^{\vee}={\rm rank}\mathcal A \]

给出.

证明：注意到 \(\ker\mathcal A^{\vee}=({\rm im} \mathcal A)^0\)，因此

\[\dim\ker\mathcal A^\vee=\dim ({\rm im}\mathcal A)^0=\dim W-\dim{\rm im}\mathcal A=\dim W-{\rm rank} A \]

从而 \({\rm rank}\mathcal A^{\vee}=\dim W^\vee-\dim\ker\mathcal A^\vee=\dim W-\dim\ker\mathcal A^\vee={\rm rank} \mathcal A.\)

Theorem 4.5. 矩阵的行秩等于列秩.

证明：考虑矩阵 \(A\in M_{m\times n}(F)\)，线性映射 \(\mathcal A\colon F^n\rightarrow F^m,\ {\rm x}\rightarrow A{\rm x}\) 在标准基下的矩阵为 \(A\)，而 \(\mathcal A^\vee\) 在标准基的对偶基下的矩阵为 \(A^{\rm T}\)，因此

\[{\rm colrank}A={\rm rank}\mathcal A={\rm rank}\mathcal A^\vee={\rm colrank}A^{\rm T}={\rm rowrank} A. \]

Theorem 4.6. 设 \(U\subset V\) 是 \(V\) 的子空间，则 \((U^0)^0=U.\)

证明：任取 \(v\in U,f\in U^0\)，则 \(v(f)=f(v)=0\)，从而 \(v\in (U^0)^0\)，因此 \(U\subset (U^0)^0.\)

但 \(\dim U+\dim U^0=\dim V,\dim U^0+\dim(U^0)^0=\dim V^\vee=\dim V\)，所以 \(\dim U=\dim (U^0)^0\)，从而 \(U=(U^0)^0\).

齐次线性方程组

在本节我们已经能用抽象线性空间的语言描述齐次线性方程组.

考虑一列线性函数 \(f_1,f_2,\cdots,f_m\in V^\vee\)，方程组

\[f_1({\rm x})=0,f_2({\rm x})=0,\cdots,f_m({\rm x})=0 \]

被称为齐次线性方程组，其中 \({\rm x}\in V\). 易验证其解空间是 \(V\) 的子空间.

Theorem 5.1. 若向量组 \(f_1,f_2,\cdots,f_m\) 的秩为 \(r\)，则其给出的齐次线性方程组的解空间的维数为 \(n-r\)，其中 \(n=\dim V.\)

证明：不妨令 \(f_1,f_2,\cdots,f_r\) 是极大线性无关组，则它给出的齐次线性方程组与原线性函数组给出的齐次线性方程组等价.

将其扩充为 \(V^{\vee}\) 的基 \(\check v_1,\cdots,\check v_n\)，其中 \(\check v_i=f_i,i\le r\)，并取 \(V\) 中的基 \(v_1,v_2,\cdots,v_n\) 与之对偶.

任取 \(v\in V\)，则 \(v=\displaystyle \sum_{i=1}^n x_iv_i\)，而 \(f_i(v)=0\) 依次给出 \(x_i=0\)，因此 \(v=\displaystyle\sum_{i=r+1}^nx_i v_i\)，从而 \(v_{r+1},\cdots,v_n\) 是解空间的基，因此解空间的维数为 \(n-r.\)

Theorem 5.2. 任意子空间 \(U\subset V\) 必是一列线性函数导出的齐次线性方程组的解空间.

证明：取 \(U\) 的一组基 \(v_1,\cdots,v_r\)，将其扩充为 \(V\) 的基 \(v_1,\cdots,v_n\)，取其在 \(V^{\vee}\) 中的对偶基 \(\check v_1,\cdots,\check v_n.\) 齐次线性方程组

\[\check v_{r+1}({\rm x})=0,\cdots,\check v_n({\rm x})=0 \]

的解空间恰为 \(U\).