连通集

设 \(\mathbb R^n\) 指定了标准拓扑 \(\mathcal O\)，\(E\subset \mathbb R^n\)，定义 \(E\) 中的开集族

\[\mathcal O_{E}=\{O\cap E\mid O\in \mathcal O\} \]

易验证 \((E,\mathcal O_E)\) 构成拓扑空间，我们将其称之为 \(\mathbb R^n\) 的子空间拓扑.

\(E\) 中的开球 \(B^r_E(a)\) 定义为 \(B^r_E(a)=B^r(a)\cap E\)，其中 \(a\in E,r>0.\)

易验证 \(O\) 是 \(E\) 中的开集当且仅当对于任意 \(a\in O\)，存在 \(E\) 中的开球 \(B^r_E(a)\subset O.\)

Def 1.1 设 \(E\subset \mathbb R^n\)，如果在子空间拓扑下，\(E\) 不能写成非空开集的不交并，则称 \(E\) 是连通集.

这一定义与史济怀《数学分析教程》中的定义 8.5.1 等价.

Theorem 1.1 设 \(E\subset \mathbb R^n\)，\(E\) 是连通集当且仅当对 \(E\) 的任一划分 \(E=A\sqcup B\)，以下两式

\[A'\cap B\ne\varnothing,A\cap B'\ne \varnothing \]

至少成立其一. 即 \(A,B\) 至少有一个含有另一个的聚点.

证明：(充分性) 假设 \(E\) 是其上非空开集的不交并 \(E=A\sqcup B\). 任取 \(x\in A\)，则存在开球 \(B^r_E(x)\subset A\)，即 \(B^r_E(x)\cap B=\varnothing\)，因此 \(x\) 不是 \(B\) 的聚点，即 \(A\cap B'=\varnothing\)，同理 \(A'\cap B=\varnothing\)，从而矛盾. 所以 \(E\) 连通.

(必要性) 考虑 \(E\) 的划分 \(E=A\sqcup B\)，假设 \(A'\cap B=\varnothing,A\cap B'=\varnothing\). 任取 \(x\in A\)，\(x\) 不是 \(B\) 的聚点，即存在开球 \(B^r(x)\cap B=\varnothing\)，从而 \(B^r_E(x)\subset A\). 所以 \(A\) 是 \(E\) 中的开集，\(B\) 亦然，这与 \(E\) 的连通性矛盾.

Theorem 1.2 \(E\subset \mathbb R\) 是连通集当且仅当 \(E\) 是区间.

证明：(必要性) 若 \(E\) 是连通集，任取 \(E\) 上不同两点 \(a,b\in E\)，不妨令 \(a<b\). 则对一切 \(c\in (a,b)\)，有 \(c\in E\)，否则

\[(-\infty,c)\cap E,(c,+\infty)\cap E \]

构成 \(E\) 的开集划分. 因此 \([a,b]\subset E\)，从而 \(E\) 是区间.

(充分性) 若 \(E\) 是区间，令 \(E=A\cup B\)，其中 \(A,B\) 皆为 \(E\) 中的非空开集. 取 \(a\in A,b\in B\)，不妨令 \(a<b\).

令 \(a_1=a,b_1=b\)，假设已有

\[[a_1,b_1]\supset [a_2,b_2]\supset\cdots\supset[a_n,b_n] \]

使得对一切 \(1\le k\le n\) 有 \(a_k\in A,b_k\in B\).

取 \([a_n,b_n]\) 的中点 \(c\)，若 \(c\in A\) 则置 \(a_{n+1}=c,b_{n+1}=b_n\)，否则置 \(a_{n+1}=a_n,b_{n+1}=c\in B\). 可作出闭区间套 \([a_k,b_k]\)，其中 \(a_k\in A,b_k\in B\). 设这些闭区间套的公共点为 \(x\)，则有 \(a_k\rightarrow x,b_k\rightarrow x\).

当然 \(a\le x\le b\)，因此 \(x\in E\). 不妨令 \(x\in A\)，则存在开球 \(B^r_E(x)\subset A\)，而 \(B^r_E(x)\) 含有 \(\{b_k\}\subset B\) 中的点，故 \(A\cap B\ne \varnothing.\)

Theorem 1.3 若 \(E\subset \mathbb R^n\) 是连通集，则 \(\bar{E}\) 也是连通集.

证明：假设存在 \(\bar{E}\) 中的非空开集 \(A,B\) 使得 \(\bar{E}=A\sqcup B\)，则

\[E=(A\cap E)\sqcup (B\cap E) \]

其中 \(A\cap E,B\cap E\) 是 \(E\) 中的非空开集. 因为 \(E\) 连通，所以 \(A\cap E=\varnothing\) 或 \(B\cap E=\varnothing\). 不妨令 \(A\cap E=\varnothing\)，则 \(E\subset B.\) 任取 \(x\in A\)，则存在开球 \(B^r_{\bar{E}}(x)\subset A\). 而 \(x\in \bar{E}\backslash E\)，所以 \(x\) 是 \(E\) 的聚点，因此 \(B^r(x)\) 含有 \(E\) 中的点，从而 \(B^r_{\bar{E}}(x)\) 含有 \(B\) 中的点，\(A\cap B\ne \varnothing.\) 综上 \(\bar{E}\) 是连通集.

Def 1.2 连通的开集称为区域.

Def 1.3 称 \(E\subset \mathbb R^n\) 为道路连通集，如果对于 \(E\) 中任意两点 \(p,q\)，存在连续映射 \(\varphi\colon [0,1]\rightarrow E\)，使得 \(\varphi(0)=p,\varphi(1)=q.\)

这样的映射 \(\varphi\) 称为 \(p,q\) 间的道路.

Theorem 1.4 若 \(E\subset \mathbb R^n\) 是道路连通集，则 \(E\) 是连通集.

证明：假设存在 \(E\) 中的非空开集，使得 \(E=A\sqcup B\)，取 \(p\in A,q\in B\).

因为 \(E\) 道路连通，所以存在连续映射 \(\varphi\colon[0,1]\rightarrow E\)，使得 \(\varphi(0)=p,\varphi(1)=q\)，从而

\[\varphi^{-1}(A),\varphi^{-1}(B) \]

皆为非空开集，且构成了 \([0,1]\) 的划分，这与 \([0,1]\) 的连通性矛盾. 因此 \(E\) 是连通集.

Lemma 1.5 \(\mathbb R^n\) 中的开球是道路连通集.

证明：对于开球 \(B\) 中的任意两点 \(p,q\)，映射 \(\varphi\colon [0,1]\rightarrow B,t\mapsto (1-t)p+tq\) 符合条件.

Theorem 1.6 \(\mathbb R^n\) 中的区域是道路连通集.

证明：设 \(E\subset \mathbb R^n\) 是区域，假设 \(E\) 不是道路连通集，则存在两点 \(p,q\)，使得 \(p,q\) 间不存在道路.

定义集合 \(A\) 为 \(E\) 中与 \(p\) 道路连通的点，集合 \(B\) 为 \(E\) 中与 \(p\) 不存在道路连通的点. \(A,B\) 皆非空且 \(E=A\sqcup B\).

任取 \(s\in A\)，因为 \(E\) 是开集，所以存在开球 \(B^r(s)\subset E\)，而开球中的点均与 \(s\) 道路连通，亦与 \(p\) 道路连通，即 \(B^r(s)\subset A\). 因此 \(A\) 是开集，\(B\) 依然，这与 \(E\) 的连通性矛盾，从而 \(E\) 道路连通.