数学印记

摘要： Darboux 定理：如果函数 \(f\) 在开区间 \(I\) 上有定义并且可微，\([a,b]\subset I\)，则 \(f'(x)\) 在 \([a,b]\) 上取遍 \(f'(a)\) 与 \(f'(b)\) 之间的一切值。 证明：若 \(f'(a)=f'(b)\)，定理自然成立，下令 阅读全文

摘要： \(C[a,b]\) 对通常意义上的函数的加法与乘法构成（含幺）交换环. 对 \(f\in C[a,b]\) 定义 \[V(f)=\{x\in[a,b]\mid f(x)=0\} \]则 \(V(f)\) 是闭集，因为对于 \(E=V(f)\) 的任意极限点 \(x_0\)，有 \[f(x_0)=\ 阅读全文

摘要： 设 \(A\in M_{m\times n}(\mathbb F)\)，令 \(r = \dim R(A),s=\dim C(A)\). 不妨设 \(A\) 的基行为前 \(r\) 行，令 \(\tilde{A}\) 为截取 \(A\) 的前 \(r\) 行所得矩阵，令 \(t=\dim C(\ti 阅读全文

摘要： 环 设 \(R\) 是赋予了加法和乘法运算的非空集合. 我们称 \(R\) 是环，如果 \((R,+)\) 是阿贝尔群，\((R,\cdot)\) 是幺半群，且 \(R\) 的乘法满足对加法的左右分配律. 若将 \((R,\cdot)\) 是幺半群的条件修改为 \((R,\cdot)\) 是半群，我 阅读全文

摘要： Part 1 在开始正文部分的讨论前，先补充一些先前在 Jordan 标准型理论的构建中没考虑到的问题. 设 \(\mathcal A,\mathcal B\) 是（域 \(F\) 上） \(n\) 维线性空间 \(V\) 上的线性变换. 命题 1：设 \(f,g\in F[x]\)，则 \(f(\ 阅读全文

摘要： 设 \(A\) 是集合，则 \({\rm card}A<{\rm card}\mathcal P(A)\). 证明：显然 \(i\colon A\longrightarrow \mathcal P(A),a\longmapsto \{a\}\) 是单射，所以 \({\rm card} A\le {\ 阅读全文

摘要： 伯恩斯坦引理：若 \({\rm card} X\le {\rm card} Y\) 且 \({\rm card} Y\le {\rm card} X\)，则 \({\rm card} X={\rm card} Y.\) 证明：由条件得存在单射 \(f\colon X\longrightarrow Y 阅读全文

摘要： Stolz 定理是处理分式极限的强大工具，其形式类似未定式函数极限的洛必达法则. 定理一：设数列 \(\{b_n\}\) 严格单调递增且趋于 \(+\infty\). 若 \[\lim_{n\rightarrow \infty}\dfrac{a_n-a_{n-1}}{b_{n}-b_{n-1}}=A 阅读全文

摘要： 注：下文若未特殊说明，默认 \(G\) 是一个群，\(\Sigma\) 是一个集合。 置换表示 \(G\) 到 \(S(\Sigma)\) 的同态 \(f:G\longrightarrow S(\Sigma)\) 称为 \(G\) 在 \(\Sigma\) 上的一个置换表示。对于每个 \(g\in 阅读全文

摘要： 我们知道，并不是所有线性变换都可以对角化，因为它要求特征多项式能分解成一次因式的乘积，并且特征值的几何重数与代数重数相等。当特征多项式能分解成一次因式的乘积，而特征值的几何重数与代数重数不一定相等时，我们将看到该线性变换仍然在一个基下的矩阵具有简单的形式，且几何重数和代数重数在该形式下被赋予了新的内 阅读全文