[群表示论]基本概念

取基础域为 \(\mathbb k\).

令 \(G\) 是一个群，同态 \(\rho\colon\ G\longrightarrow GL(V)\) 给出 \(G\) 的表示 \((V,\rho)\)，其中 \(V\) 是线性空间. 我们称 \(V\) 是 \(G-\)模.

令 \(V\) 是 \(G-\)模，\(W\) 是 \(V\) 的子空间. 若对任意 \(w\in W,g\in G\)，都有 \(gw\in W\)，则 \(W\) 诱导了表示 \(\rho_{W}\colon\ G\longrightarrow GL(W)\)，称 \((W,\rho_W)\) 是 \((V,\rho)\) 的子表示，也称 \(W\) 是 \(V\) 的 \(G-\)子模.

Def. 令 \(V\) 是 \(G-\)模，若不存在 \(V\) 的非平凡子模，则称 \(V\) 不可约，否则称 \(V\) 可约.

Def. 令 \((V,\rho),(W,\tau)\) 均为 \(G\) 的表示. 若线性映射 \(f\colon\ V\longrightarrow W\) 满足对任意 \(g\in G\)，都有 \(f\rho(g)=\tau(g)f\)，则称 \(f\) 是 \(V\) 到 \(W\) 的 \(G-\)同态.

令 \((V,\rho),(W,\tau)\) 均为 \(G\) 的表示，则可构造以下表示

(1) \((\operatorname{Hom}(V,W),\sigma)\) 是 \(G\) 的表示，其中

\[\sigma(g)(f)=\tau(g)f\rho(g^{-1}) \]

令 \(\operatorname{Hom}_G(V,W)\) 是所有 \(V\) 到 \(W\) 的 \(G-\)同态构成的集合，则

\[\operatorname{Hom}_G(V,W)=\{f\in \operatorname{Hom}(V,W)\mid g\cdot f=f,\forall g\in G\}=:\operatorname{Hom}(V,W)^{G} \]

(2) \((V^{*},\rho^{*})\) 是 \(G\) 的表示，其中

\[\rho^{*}(g)(f)=f\rho(g^{-1}) \]

(3) \((V\otimes W,\rho\tau)\) 是 \(G\) 的表示，其中

\[\rho\tau(g)(v\otimes w)=\rho(g)v\otimes\tau(g)w \]

(4) \((V\oplus W,\rho\oplus\tau)\) 是 \(G\) 的表示，其中

\[(\rho\oplus\tau)(g)(v\oplus w)=\rho(g)v\oplus\tau(g)w \]

读者自行检验上述定义给出了群的表示.

若 \(G\) 的一个表示可写为有限个不可约表示的直和，则称其为完全不可约表示.

lemma. (Maschke) \(G\) 是有限群，\((V,\rho)\) 是 \(G\) 上的有限维表示，若 \(\operatorname{char }\mathbb k\not\mid |G|\)，则该表示完全可约.

证明：若 \(V\) 不可约，当然 \(V\) 完全不可约. 现令 \(V\) 有非平凡子模 \(W\).

取 \(W\) 的直和补 \(W'\)，令 \(\pi\) 是平行于 \(W'\) 到 \(W\) 的投影，并构造

\[\pi_0:=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}g^{-1}\pi g \]

可依次验证：(1) \(\pi_0\) 是 \(V\) 到自身的模同态; (2) \(\pi_0(V)\subset W\); (3) 若 \(w\in W\)，则 \(\pi_0(w)=w\).

从而 \(\pi_0\) 是像为 \(W\) 的投影变换，\(V=W\oplus\ker\pi_0\)，其中 \(\ker\pi_0\) 是 \(V\) 的子模. 施归纳于 \(V\) 的维数即得 \(V\) 完全可约.

Theorem. (Schur) 若 \(V,W\) 是不可约 \(G-\)模，则任一 \(V\) 到 \(W\) 的非零 \(G-\)同态也是同构.

证明：令 \(f\) 是 \(V\) 到 \(W\) 的非零同态：\(\operatorname{im} f\) 是 \(W\) 的子模，且 \(\operatorname{im} f\ne 0\)，所以 \(\operatorname{im} f=W\); \(\ker f\) 是 \(V\) 的子模，且 \(\ker f\ne V\)，所以 \(\ker f=0\). 因此 \(f\) 是双射，从而 \(f\) 是同构.

Collary. 若 \(V\) 是有限维不可约 \(G-\)模，则 \(\operatorname{Hom}_G(V,V)=\mathbb k\operatorname{Id}_V\).

证明：仅需注意到特征子空间是子模.

Collary. 若 \(V,W\) 是有限维不可约 \(G-\)模，若存在 \(V\) 到 \(W\) 的同构 \(\varphi\)，则 \(\operatorname{Hom}_G(V,W)=\mathbb k\varphi\).

证明：对任意 \(\psi\in \operatorname{Hom}_G(V,W)\) 考虑 \(\varphi^{-1}\psi\).

接下来考虑表示的张量积.

Def. 令 \((V,\rho),(W,\tau)\) 分别为 \(G,H\) 的表示，则 \((V\otimes W,\rho\otimes\tau)\) 为 \(G\times H\) 的表示，其中

\[(\rho\otimes\tau)(g,h)(v\otimes w)=\rho(g)v\otimes\tau(h)w. \]

Theroem. 若 \((V,\rho),(W,\tau)\) 分别是 \(G,H\) 的有限维不可约表示，则 \((V\otimes W,\rho\otimes\tau)\) 是 \(G\times H\) 的不可约表示.

证明：取 \(V\otimes W\) 的非零 \(G\times H-\)不可约子模 \(U\).

\(\rho I:G\hookrightarrow G\times H\rightarrow GL(V\otimes W)\) 给出了 \(G\) 的表示 \((\rho I,V\otimes W)\). 从而 \(U\) 是 \(V\otimes W\) 的 \(G-\)子模.

取 \(W\) 的基 \(w_1,w_2,\cdots,w_n\)，