Jordan-Chevalley 分解

设 \(F\) 是代数闭域，\(V\) 是 \(F\) 上的 \(n\) 维线性空间. 对于 \(V\) 上的线性算子 \(\mathcal A\)，

\[\mathcal A=\mathcal A_s+\mathcal A_n \]

称为 \(\mathcal A\) 的 Jordan-Chevalley 分解，如果 \(\mathcal A_s\) 是可对角化算子，\(\mathcal A_n\) 是幂零算子，且 \(\mathcal A_s,\mathcal A_n\) 可交换.

考虑算子 \(\mathcal A\) 的 Jordan-Chevalley 分解 \(\mathcal A=\mathcal A_s+\mathcal A_n\).

设 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s\) 是 \(\mathcal A_s\) 的所有特征值，因为 \(\mathcal A_s\) 与 \(\mathcal A_n\) 可交换，所以 \(\mathcal A_s\) 的特征子空间 \(\ker(\mathcal A_s-\lambda_i\mathcal I)\) 是 \(\mathcal A\) 和 \(\mathcal A_n\) 的不变子空间.

将算子 \(\mathcal A,\mathcal A_s,\mathcal A_n\) 限制在 \(\ker(\mathcal A_s-\lambda_i\mathcal I)\) 上得 \(\bar{\mathcal A_{}},\lambda_i\mathcal I,\bar{\mathcal A_n}\)，则

\[\bar{\mathcal A_n}=\bar{\mathcal A}-\lambda_i\mathcal I \]

而 \(\mathcal A_n\) 是幂零算子，所以 \(\bar{\mathcal A}-\lambda_i\mathcal I=\bar{\mathcal A_n}\) 是 \(\ker(\mathcal A_s-\lambda_i\mathcal I)\) 上的幂零算子. 所以 \(\lambda_i\) 是 \(\mathcal A\) 的特征值，且根子空间 \(\ker(\mathcal A-\lambda_i\mathcal I)^n\supset \ker(\mathcal A_s-\lambda_i\mathcal I).\) 因此

\[V\supset\bigoplus_{i=1}^s \ker(\mathcal A-\lambda_i\mathcal I)^n\supset \bigoplus_{i=1}^s\ker(\mathcal A_s-\lambda_i\mathcal I)=V. \]

从而

\[\bigoplus_{i=1}^s\ker(\mathcal A-\lambda_i\mathcal I)^n=V. \]

且 \(\ker(\mathcal A-\lambda_i\mathcal I)^n=\ker(\mathcal A_s-\lambda_i\mathcal I)\). 即 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s\) 是 \(\mathcal A\) 的所有特征值，且同一特征值相对于 \(\mathcal A_s\) 的特征子空间就是其相对于 \(\mathcal A\) 的根子空间.

接下来考虑 Jordan-Chevalley 分解的存在性，任取算子 \(\mathcal A\in{\rm End}(V)\)，因为 \(F\) 是代数闭域，所以 \(\mathcal A\) 的特征多项式 \(\chi_{\mathcal A}(t)\) 在 \(F\) 上分裂，即

\[\chi_{\mathcal A}(t)=(t-\lambda_1)^{l_1}(t-\lambda_2)^{l_2}\cdots(t-\lambda_s)^{l_s} \]

其中 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s\) 是 \(\mathcal A\) 的所有不同的特征值.

根据中国剩余定理，存在模 \(\chi_{\mathcal A}(t)\) 意义下唯一的多项式 \(p(t)\in F[t]\)，满足同余式

\[p(t)\equiv \lambda_i\pmod{(t-\lambda_i)^{l_i}} \]

令 \(q(t)=t-p(t)\)，则 \(\mathcal A=p(\mathcal A)+q(\mathcal A).\)

显然 \(V(\lambda_i)=\ker(\mathcal A-\lambda_i\mathcal I)^{l_i}\) 是 \(\mathcal A_s=p(\mathcal A),\mathcal A_n=q(\mathcal A)\) 的不变子空间，且 \(\mathcal A_s,\mathcal A_n\) 限制在 \(V(\lambda_i)\) 上分别退化为数乘变换与幂零变换. 因此 \(\mathcal A_n\) 是 \(V=V(\lambda_1)\oplus\cdots\oplus V(\lambda_s)\) 上的幂零算子，且由 \(V(\lambda_i)\) 的基并起来得到的 \(V\) 的基将 \(\mathcal A_s\) 对角化，从而 \(\mathcal A_s\) 是可对角化算子.

当然 \(\mathcal A_s=p(\mathcal A),\mathcal A_n=q(\mathcal A)\) 可交换，综上 \(\mathcal A=\mathcal A_s+\mathcal A_n\) 是 \(\mathcal A\) 的 Jordan-Chevalley 分解.

上述推导得出了 \(V\) 上任意线性算子均存在 Jordan-Chevalley 分解，且其中的幂零算子与可对角化算子可由 \(\mathcal A\) 的多项式给出.

lemma. 若 \(\mathcal D_1,\mathcal D_2\) 是 \(V\) 上可交换的可对角化算子，则 \(\mathcal D_1+\mathcal D_2\) 也是可对角化算子.

证明：选一组基同时对角化 \(\mathcal D_1,\mathcal D_2\)，这组基也对角化 \(\mathcal D_1+\mathcal D_2\)，因此 \(\mathcal D_1+\mathcal D_2\) 是可对角化算子.

lemma. 若 \(\mathcal N_1,\mathcal N_2\) 是 \(V\) 上可交换的幂零算子，则 \(\mathcal N_1+\mathcal N_2\) 也是幂零算子.

证明：取正整数 \(m\) 使得 \(\mathcal N_1^m=\mathcal N_2^m=\mathcal O\)，则

\[(\mathcal N_1+\mathcal N_2)^{2m}=\sum_{k=0}^{2m}{2m\choose k}\mathcal N_1^k\mathcal N_2^{2m-k}=\mathcal O \]

对于每一个求和项，要么 \(k\ge m\)，要么 \(2m-k\ge m\)，从而等于 \(\mathcal O.\)

有了以上两条引理，我们来探讨 Jordan-Chevalley 分解的唯一性.

设 \(\mathcal A=s+n\) 是线性算子 \(\mathcal A\) 的任一 Jordan-Chevalley 分解，且多项式 \(p(t),q(t)\in F[t]\) 的构造如前文所述，则

\[p(\mathcal A)-s=n-q(\mathcal A). \]

等式左边是可对角化算子，等式右边是幂零算子，因此 \(p(\mathcal A)-s=n-q(\mathcal A)=\mathcal O\)，即 \(p(\mathcal A)=s,q(\mathcal A)=n\)，唯一性得证.

综上，\(V\) 上的任一线性算子 \(\mathcal A\) 均存在唯一的 Jordan-Chevalley 分解，且半单部分与幂零部分均取自 \(F[\mathcal A]\).