Lesbegue 准则

零测度集

Defn 1.1. 设集合 \(E\subset R\). 如果对于任意 \(\varepsilon>0\)，\(E\) 可被至多可数的开区间族 \(\{I_k\}\) 覆盖，并且 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}|I_k|\le \varepsilon\)， 则称 \(E\) 为零测度集.

Defn 1.2. 在集合 \(X\) 上，如果某种性质在零测度集以外的任何点都成立，就说该性质在 \(X\) 上几乎处处成立.

lemma 1.1.

(a) 若 \(a\in \mathbb R\)，则 \(\{a\}\) 是零测度集；

(b) 数目至多可数的零测度集的并集是零测度集；

(c) 零测度集的子集是零测度集；

(d) 若 \(a<b\)，则闭区间 \([a,b]\) 不是零测度集.

证明：

(a) 对任意 \(\varepsilon >0\)，则开区间 \((a-\varepsilon,a+\varepsilon)\) 覆盖 \(\{a\}\)，且其长度恰为 \(\varepsilon.\)

(b) 设 \(E_1,E_2,\cdots,E_n,\cdots\) 是零测度集，则对任意 \(\varepsilon>0\)，对任意正整数 \(n\)，存在可数的开区间族 \(\{I_{nk}:k\in\mathbb N^{*}\}\) 覆盖 \(E_n\)，且 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}I_{nk}\le \dfrac{\varepsilon}{2^n}.\) 则可数的开区间族 \(\{I_{nk}:n,k\in\mathbb N^{*}\}\) 覆盖 \(\displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty} E_n\)，且

\[\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^{\infty}I_{nk}\le \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\varepsilon}{2^n}=\varepsilon. \]

即 \(\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}E_n\) 是零测度集.

(c) 注意到若 \(E\) 是零测度集，则覆盖 \(E\) 的一族开区间也覆盖其子集。

(d) 因为 \([a,b]\) 是紧集，所以仅需讨论有限个覆盖 \([a,b]\) 的开区间. 设开区间 \(I_1,I_2,\cdots,I_n\) 覆盖 \([a,b]\). 下面归纳证明，组成 \([a,b]\) 的有限覆盖的开区间的长度之和大于 \(b-a\).

当 \(n=1\) 时，设开区间 \((\alpha,\beta)\) 覆盖 \([a,b]\)，则 \(\alpha<a<b<\beta\)，从而 \(\beta-\alpha>b-a.\)

设命题对不小于 \(n\) 的正整数成立，则考虑由 \(n+1\) 个开区间组成的开覆盖 \(I_1,I_2,\cdots,I_{n+1}\)，不妨令 \(a\in I_{n+1}=(\alpha,\beta)\)，若 \(\beta\ge b\)，则 \(|I_{n+1}|>b-a\). 否则，\(I_1,I_2,\cdots,I_n\) 组成闭区间 \([\beta,b]\) 的开覆盖，由归纳假设 \(|I_1|+|I_2|+\cdots+|I_n|> b-\beta\)，所以

\[|I_1|+|I_2|+\cdots+|I_{n+1}|> b-\beta+\beta-a=b-a. \]

由数学归纳法原理可知证毕. 因此 \([a,b]\) 不是零测度集.

Lebesgue 定理

lemma 2.1. 设 \(X\subset E\subset \mathbb R\) 且 \(X\) 为紧集，若函数 \(f\colon E\longrightarrow \mathbb R\) 在 \(X\) 上连续，则对于任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \(\delta>0\) 使得当 \(x\in X,y\in E\) 且 \(|x-y|<\delta\) 时有 \(|f(x)-f(y)|<\varepsilon.\)

证明：对于任意 \(\varepsilon>0\)，因为 \(f\) 在 \(x\in X\) 处连续，故存在邻域 \(U^{\delta_x}(x)\) 使得 \(\omega(f;U^{\delta}(x))<\varepsilon.\) 而全体 \(U^{\delta_x/2}(x),x\in X\) 给出了紧集 \(X\) 的开覆盖，取其有限覆盖 \(U^{\delta_1/2}(x_1),U^{\delta_2/2}(x_2),\cdots,U^{\delta_n/2}(x_n)\) 并令 \(\delta=\min\{\delta_1/2,\delta_2/2,\cdots,\delta_n/2\}\).

任取 \(x\in X,y\in E\) 且满足 \(|x-y|<\delta\)，则 \(x\) 落在某个 \(U^{\delta_k/2}(x_k)\) 中，且 \(|y-x_k|\le |y-x|+|x-x_k|< \delta+\delta_k/2\le\delta_k\)，故 \(x,y\in U^{\delta_k}(x_k)\)，因此 \(|f(x)-f(y)|\le \omega(f;U^{\delta_k}(x_k))<\varepsilon.\)

Theorem 2.2 （Lebesgue 定理）定义在闭区间上的函数在该区间上 Riemamn 可积的充要条件为它在该区间上有界且几乎处处连续.

证明：

（必要性）若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上 Riemamn 可积，则 \(f\) 在 \([a,b]\) 上有界. 令 \(D(f)\) 为 \([a,b]\) 上不连续的点构成的集合. 对任意 \(\delta>0\)，令 \(D_{\delta}(f):=\{x\in [a,b]:\omega(f;x)\ge \delta\}.\)

固定 \(\delta>0\)，对于任意 \(\varepsilon>0\)，存在 \([a,b]\) 上的分割 \(P:a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b\)，使得

\[\sum_{i=1}^n\omega(f;\Delta_i)\Delta x_i<\dfrac{\varepsilon \delta}{2}. \]

任取 \(x\in D_{\delta}(f)\)，若 \(x\ne x_0,x_1,\cdots,x_n\)，则有 \(x\in(x_{i-1},x_{i})\)，所以存在充分小的临域 \(V(x)\subset (x_{i-1},x_i)\)，从而 \(\omega(f;\Delta_i)\ge \omega(f;x)\ge \delta.\)

约定 \(\sum'\) 与 \(\bigcup'\) 是对满足 \(D_{\delta}(f)\bigcap(x_{i-1},x_i)\ne\varnothing\) 的指标 \(i\) 做运算，则

\[\dfrac{\varepsilon\delta}{2}>{\sum}'\omega(f;\Delta_i)\Delta x_i\ge \delta{\sum}'\Delta x_i. \]

从而 \(\displaystyle {\sum}'\Delta x_i<\dfrac{\varepsilon}{2}.\)

注意到

\[D_{\delta}(f)\subset\left({\bigcup}'(x_{i-1},x_i)\right)\bigcup\ \{x_0,x_1,\cdots,x_n\}\subset\left({\bigcup}'(x_{i-1},x_i)\right)\bigcup\left(\bigcup_{i=0}^{n}(x_i-\dfrac{\varepsilon}{4(n+1)},x_i+\dfrac{\varepsilon}{4(n+1)})\right). \]

于是我们给出了 \(D_{\delta}(f)\) 的一个有限开区间覆盖，且区间长度之和不超过 \(\dfrac{\varepsilon}{2}+(n+1)\dfrac{\varepsilon}{2(n+1)}=\varepsilon.\)

因此 \(D_{\delta}(f)\) 是零测度集，从而

\[D(f)=\bigcup_{n=1}^{\infty} D_{1/n}(f) \]

是零测度集，即 \(f\) 在 \([a,b]\) 上几乎处处连续.

(充分性) 若 \(f\) 在 \([a,b]\) 上几乎处处连续且有界，可设 \(\omega(f;[a,b])< C<\infty\)，且 \(D(f)\) 是零测度集.

对任意 \(\varepsilon>0\)，存在可数的开区间族 \(\{I_k\}\) 覆盖 \(D(f)\)，且 \(\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}|I_k|\le \dfrac{\varepsilon}{2C}\). 令 \(X=[a,b]\backslash \bigcup\limits_{k=1}^{\infty} I_k\)，则 \(X\) 是有界闭集，所以 \(X\) 是紧集，而 \(f\) 在 \(X\) 上连续，由引理 2.1，存在 \(\delta>0\)，使得当 \(|x-y|<\delta\) 且 \(x\in X,y\in [a,b]\) 时有 \(|f(x)-f(y)|<\dfrac{\varepsilon}{4(b-a)}\).

任取满足 \(\lambda(P)<\delta\) 的分割 \(P\)，考虑

\[\sum_{i=1}^{n}\omega(f;\Delta_i)\Delta x_i={\sum}'\omega(f;\Delta_i)\Delta x_i+{\sum}''\omega(f;\Delta_i)\Delta x_i. \]

其中 \(\sum',\sum''\) 分别对满足 \(X\bigcap (x_{i-1},x_i)=\varnothing\) 与 \(X\bigcap (x_{i-1},x_i)\ne\varnothing\) 的指标 \(i\) 求和.

而

\[{\sum}'\omega(f;\Delta_i)\Delta x_i<C{\sum}'\Delta x_i\le C\sum_{k=1}^{\infty}|I_k|\le C\dfrac{\varepsilon}{2C}=\dfrac{\varepsilon}{2}. \]

且当 \(X\bigcap (x_{i-1},x_i)\ne\varnothing\) 时，任取 \(y\in X\bigcap (x_{i-1},x_i)\)，则对于任意 \(x',x''\in (x_{i-1},x_i)\)，有 \(|f(x')-f(y)|<\dfrac{\varepsilon}{4(b-a)},|f(x'')-f(y)|<\dfrac{\varepsilon}{4(b-a)}\)，从而

\[|f(x')-f(x'')|\le |f(x')-f(y)|+|f(x'')-f(y)|<\dfrac{\varepsilon}{2(b-a)}. \]

即 \(\omega(f;\Delta_i)\le \dfrac{\varepsilon}{2(b-a)}\)，从而

\[{\sum}'' \omega(f;\Delta_i)\Delta x_i\le \dfrac{\varepsilon}{2(b-a)}{\sum}'' \Delta x_i\le \dfrac{\varepsilon}{2(b-a)}(b-a)=\dfrac{\varepsilon}{2}. \]

因此

\[\sum_{i=1}^{n}\omega(f;\Delta_i)\Delta x_i<\dfrac{\varepsilon}{2}+\dfrac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \]

即 \(f\) 在 \([a,b]\) 上 Riemamn 可积.