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摘要： 哈希表（Hash Table）—— 核心思想与原理 哈希表是一种追求极致速度的数据结构，它的核心目标是实现近乎常数时间复杂度 \(O(1)\) 的插入、删除和查找操作。 一、基本思想：像一个智能储物柜 想象一个智能储物柜，存东西时不需要自己找空柜子，而是直接告诉系统身份标识（键 Key），系统通过一 阅读全文

摘要： 计算这个式子的和：\(S = \sum \limits_{i=1}^n \left\lfloor \dfrac{n}{i} \right\rfloor\)。比如，当 \(n=10\) 时，需要计算 \(\left\lfloor \dfrac{10}{1} \right\rfloor + \left\ 阅读全文

摘要： 离散对数问题 一、从普通对数开始 如果有一个方程：\(2^x = 8\)，可以很快求出 \(x = \log_2 8 = 3\)。这里的 \(\log\) 就是对数运算。 二、加上“模运算”的限制 现在，把这个问题搬到模运算上，问题就变成了这样：给定整数 \(a,b\) 和一个质数 \(p\)，求解 阅读全文

摘要： 形式一（最常用）：如果 \(p\) 是一个素数（质数），并且整数 \(a\) 不是 \(p\) 的倍数（也就是 \(a\) 除以 \(p\) 的余数不为 \(0\)），那么 \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod {p}\)。 形式二：如果 \(p\) 是一个素数，\(a\) 是任意整数， 阅读全文

摘要： 欧拉定理（Euler's Totient Theorem） 一、核心思想：指数的周期性 在模 \(n\) 运算上，不断地用一个数 \(a\) 去乘以自己时（即 \(a, a^2, a^3, \dots\)），会发现结果会呈现出周期性循环。 欧拉定理对这个循环的长度给出了一个明确的结论： 只要 \(a 阅读全文

摘要： 欧拉函数 \(\phi(n)\) 就是：小于或等于 \(n\) 的正整数中，与 \(n\) 互质的数的个数。 当 \(n=7\) 时（一个质数），\(1,2,3,4,5,6\) 都和 \(7\) 互质，所以 \(\phi(7)=6\)。显然，如果 \(p\) 是一个质数，那么 \(\phi(p)=p 阅读全文

摘要： 韩信点兵 打仗需要清点士兵，但士兵太多了，一个一个数太慢，于是韩信用了个聪明的方法： 让士兵们 \(3\) 人一排站好，结果发现最后剩下 \(2\) 个人。 让他们 \(5\) 人一排，结果剩下 \(3\) 个人。 最后，让他们 \(7\) 人一排，又剩下 \(2\) 个人。 问题：在不一个一个数的 阅读全文

摘要： 求解 \(ax+by = gcd(a,b)\)。 首先，如果有 \(b\) 等于 \(0\)，则 \(x=1, \ y=0\) 为其一组解（辗转相除法最后一层）。 现在要从底往上推 \(x,y\)，设底下一层的 \(x,y\) 为 \(x',y'\)。 根据辗转相除法，设 \(a'=b, \ b'= 阅读全文

摘要： 乘法逆元 若 \(ax \equiv 1 \pmod {p}\)，则这个 \(x\) 也叫做在模 \(p\) 意义下 \(a\) 的逆元。乘法逆元就是模意义下的除法。 求解乘法逆元的常见方法： 当模数为质数时：使用费马小定理，当 \(p\) 为质数时，\(a^{p-1} \equiv 1 \pmod 阅读全文

摘要： 裴蜀定理（贝祖定理）：如果 \(a,b\) 是不全为 \(0\) 的整数，一定存在整数 \(x, y\)，满足 \(ax+by=gcd(a,b)\)。 例如 \(4x+6y=2\)，存在整数解 \(x=-1,y=1\)，而 \(4x+6y=3\) 也就是 \(x=\dfrac{3-6y}{4}\) 阅读全文