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摘要： 假设有一个包含 \(N\) 个节点的树，要求“树上距离等于 \(K\) 的点对（路径）有多少个？”。 暴力做法枚举任意两个点，然后算它们之间的距离。总共有 \(O(N^2)\) 条路径，时间复杂度是 \(O(N^2)\)。当 \(N=10^5\) 时，直接超时。而点分治算法可以将时间复杂度优化到 \ 阅读全文

摘要： 莫队算法是一种由莫涛提出的基于平方根分解思想离线处理区间查询问题的算法，其时间复杂度通常为 \(O((N+Q) \sqrt{N})\)，其中 \(N\) 是数组大小，\(Q\) 是查询次数。 莫队算法成功的关键在于它不按原始顺序处理查询，而是根据索引进行离线排序。首先将所有左端点在第 1 块的查询处 阅读全文

摘要： 分块算法被称为“优雅的暴力”，它是一种通过将数据分成若干个大小相等的“块”，从而平衡修改和查询时间复杂度的算法思想。 在信息学竞赛中，如果线段树、树状数组等高级数据结构难以实现，分块往往可以作为一种“保底”甚至首选方案。 核心思想：根号平衡 分块的核心在于一个简单的数学观察：如果将长度为 \(n\) 阅读全文

摘要： 扫描线是计算几何中一种非常经典且高效的算法思想，它的核心逻辑是将多维空间中的几何问题，“降维”处理。想象一根无限长的直线，例如垂直线，从左向右在平面上扫过。随着直线的移动，只关注与扫描线相交的那些对象，并实时维护它们的状态。 例题：P5490 【模板】扫描线 求 \(n \ (1 \le n \le 阅读全文

摘要： 求有多少 \(1 \sim n\) 的排列 \(p\) 满足对于任意 $i = 1, \dots, n $，有 \(p_i \ne i\)。 方法 1（递推）：\(D_i = (D_{i-1} + D_{i-2}) \times (i-1)\)，其中 \(D_0 = 1, \ D_1 = 0\) 第 阅读全文

摘要： 在算法竞赛中，博弈论问题通常涉及到两名玩家轮流操作。要理解复杂的博弈模型，通常从最基础、最经典的 Nim 游戏 开始。 Nim 游戏 Nim 游戏是博弈论中最基础的模型。 游戏规则 有 \(n\) 堆石子，第 \(i\) 堆石子数为 \(a_i\)。两名玩家轮流从任意一堆中取走任意数量的石子（至少取 阅读全文

摘要： 容斥原理在组合数学中用来求 \(n\) 个有限集的并集的基数（又称势，即集合元素个数）。设 \(n\) 个有限集分别为 \(S_1, S_2, \dots, S_n\)，那么它们的并集的基数可以表示为：\(|S_1 \cup \cdots \cup S_n| = \sum \limits_i |S_ 阅读全文

摘要： 引理 1：\(C_{p}^x \equiv 0 \pmod{p}, \ 0 \lt x \lt p\)。因为 \(C_p^x = \dfrac{p!}{x!(p-x)!} = \dfrac{p(p-1)!}{x(x-1)!(p-x)!} = \dfrac{p}{x} C_{p-1}^{x-1}\)， 阅读全文

摘要： 在线性代数中，线性基是一个向量空间的基。在算法竞赛中，通常讨论两种线性基： 异或线性基：针对整数的异或（XOR）运算。 实数线性基：针对实数向量的加法和数乘运算（通常通过高斯消元实现）。 异或线性基 对于一组数 \(A = \{ a_1, a_2, \dots, a_n \}\)，它们的异或线性基 阅读全文

摘要： 在算法竞赛中，高斯消元法常用于求解 \(n\) 元一次方程组。 一个包含 \(n\) 个变量和 \(m\) 个方程的线性方程组可以表示为： \[\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a 阅读全文