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摘要： 在线性代数中，线性基是一个向量空间的基。在算法竞赛中，通常讨论两种线性基： 异或线性基：针对整数的异或（XOR）运算。 实数线性基：针对实数向量的加法和数乘运算（通常通过高斯消元实现）。 异或线性基 对于一组数 \(A = \{ a_1, a_2, \dots, a_n \}\)，它们的异或线性基 阅读全文

摘要： 在算法竞赛中，高斯消元法常用于求解 \(n\) 元一次方程组。 一个包含 \(n\) 个变量和 \(m\) 个方程的线性方程组可以表示为： \[\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a 阅读全文

摘要： 当需要将 \(N!\) 分解为质因数的乘积时，直接计算阶乘再分解显然不现实，因为 \(N\) 稍大时结果就会巨大无比。勒让德公式提供了一种优雅的方法，可以直接计算出 \(N!\) 中每个质因子的指数，而不需要计算阶乘本身。 勒让德公式：对于任意质数 \(p\)，阶乘 \(N!\) 中质因子 \(p\ 阅读全文

摘要： 单源次短路径指的是在某个无向图 \(G=(V,E)\) 中，给定某个源点 \(v\)，由 \(v\) 到其他顶点的所有路劲中长度为次短的路径，单源次短路径问题是单源 \(k\) 短路径问题的特例。对于一般的单源 \(k\) 短路径问题，可以通过扩展 Dijkstra（要求没有负权边）算法来求解。 例 阅读全文

摘要： 在标准的最短路问题中，状态通常只由节点编号决定。但在实际建模时，会遇到一些带有“限制条件”或“附加状态”的题目，例如： 资源限制：移动需要消耗资源，或者在节点处可以补充资源。 次数限制：可以免费通过 \(k\) 条边，或者有 \(k\) 次反转边权的机会。 开关状态：某些边的开启取决于当前是否持有了 阅读全文

摘要： 在标准的 BFS 中，假设网格或状态之间的移动成本是恒定的（例如每走一步花费为 1），此时相当于可以建模成无权图。然而，有一类常见的问题：在图上转移的代价只有两种可能性，\(0\) 和 \(1\)。例如： 顺着已有方向移动代价为 \(0\)，转向移动代价为 \(1\)。 穿越正常区域代价为 \(0\ 阅读全文

摘要： 洪水填充算法（flood fill algorithm），也称为泛洪算法，用于将格点的某一个连通区域内的所有格点状态修改为目标状态，状态往往用颜色表示。一般的处理方法是，从一个起始点开始把附近与其连通的点填充成新的颜色，直到连通区域内的所有点都被处理过为止，因为其思路类似洪水从一个区域扩散到所有能到 阅读全文

摘要： 如果问题不但具有“初态”，还具有明确的“终态”，并且从初态开始搜索与从终态开始逆向搜索产生的搜索范围能覆盖整个问题的状态空间，在这种情况下，可以采用双向搜索——从初态和终态出发各搜索一半状态，使得两边的搜索深度减半，在中间交会、组合成最终的答案。 双向 DFS 双向 DFS（或称折半搜索、Meet- 阅读全文

摘要： 迭代加深搜索是一种状态空间搜索策略，其实质是多轮次地执行有深度限制的深度优先搜索，直到找到目标解或确定无解为止。其中随着轮次的增加，搜索深度的上限也不断增加。 记当前搜索的深度限制为 \(\tau\)，算法的主要流程如下： 先将深度限制设为 \(\tau = 1\)。 从起始状态出发，执行深度不超过 阅读全文

摘要： 剪枝就是排除搜索树中不必要的分支 比如，如果知道往某个支路走答案必定（或者已经）不如当前最优解，那么就可以跳过这个支路 同样，为了可以剪掉更多枝，可以优先往期望较优的分支走 可以对当前状态“估价”，例如当前状态到最终状态至少要 \(x\) 步，而当前已经走过的步数再加上 \(x\) 大于等于当前的最 阅读全文