RonChen

摘要： 康托展开是一种全排列到自然数的双射（映射）算法，简单来说，对于一个由 \(1 \sim n\) 共 \(n\) 个不重复数字构成的全排列，若按字典序将这 \(n!\) 种所有可能的排列从小到大进行排序（从第 \(0\) 个或第 \(1\) 个开始计）： 正向康托展开：输入一个排列，计算出它是字典序中 阅读全文

摘要： 在标准的单源广度优先搜索中，从网格地图中的某一个确定起点出发，逐步按层向四周邻近格子扩张，用来求解网格图/棋盘中的最少移动步数（最短距离）问题。 然而，在许多实际题目中，起点的数量往往不止一个。例如： 多个火源同时蔓延，求整栋大楼被烧毁的时间。 多个基地同时发射信号，求网格地图上各个区域最早接收到信 阅读全文

摘要： 抽屉原理（又称鸽巢原理）是组合数学中最基础但又极其强大的工具之一，它的核心思想极其直观：如果物品的数量多于容器的数量，那么至少有一个容器里盛放了不止一个物品。虽然原理本身非常简单，但通过巧妙地“构造抽屉”和“确定物品”，它可以用来证明很多看似难以下手的存在性问题。 简单抽屉原理：若将 \(n+1\) 阅读全文

摘要： 给定 \(N\) 个闭区间 \([l_i,r_i]\)，要求将所有有交集（包括端点重合）的区间进行合并，最终计算出合并后互不相交的区间集合。 处理区间问题的核心往往在于消除无序性，如果区间是散乱分布的，很难判断一个区间究竟会与哪些区间发生合并。 通过将所有区间按照左端点从小到大进行排序，问题就会展现 阅读全文

摘要： 给定直线上 \(n\) 个点，其坐标分别为 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)。需要在这条直线上找一个点 \(P(x)\)，使得 \(P\) 到所有已知点的绝对距离之和最小，即最小化目标函数 \(f(x) = \sum \limits_{i=1}^n |x - x_i|\)。 结论 当 阅读全文

摘要： 归并排序 例题：P1177 【模板】排序 介绍一种新的排序算法——归并排序。要理解归并排序，首先要理解归并。考虑这样一个问题：给定两个有序的序列 \(a,b\)，把两个序列合并成一个序列，使得合并出的这个序列是有序的。 算法的过程很简单，维护两个位置 \(i\) 和 \(j\)，代表当前考虑 \(a 阅读全文

摘要： 快速排序 快速排序（Quick Sort）是计算机科学中最著名、应用最广泛的排序算法之一。它的核心思想是分治（Divide and Conquer），这个策略可以分为三个步骤： 分解（Divide）： 从待排序的数组中，挑选一个元素作为“基准”（Pivot）。 围绕这个基准，对数组进行“分区”（Pa 阅读全文

摘要： 同余类分析法 的基本思想是：利用同余关系将全体整数（或问题的状态空间）划分为若干个互不相交的等价类。 分类标准：选定一个基准数 \(M\)，根据每个数 \(x\) 满足 \(x \equiv r \pmod{M}\) 的余数 \(r\) 进行归类。 分析逻辑：如果一个性质对于某个余数 \(r\) 成 阅读全文

摘要： 差分约束系统用于求解 \(n\) 个未知数 \(x_1 \sim x_n\)，\(m\) 个形如 \(x_u - x_v \le w\) 也就是 \(x_u \le x_v + w\) 的不等式的解。 两种建图方式： \(v\) 向 \(u\) 连边权为 \(w\) 的有向边，建立虚点 \(0\) 阅读全文

摘要： Treap 是一种结合了 二叉搜索树（Binary Search Tree） 和 二叉堆（Binary Treap） 特性的高级平衡数据结构，其名称正是由这两个词组合而成：Tree + Heap \(Rightarrow\) Treap。 更具体地说，Treap 中的每个节点都存储了一个二元组 \( 阅读全文