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摘要： 给定 \(N\) 个闭区间 \([l_i,r_i]\)，要求将所有有交集（包括端点重合）的区间进行合并，最终计算出合并后互不相交的区间集合。 处理区间问题的核心往往在于消除无序性，如果区间是散乱分布的，很难判断一个区间究竟会与哪些区间发生合并。 通过将所有区间按照左端点从小到大进行排序，问题就会展现 阅读全文

摘要： 给定直线上 \(n\) 个点，其坐标分别为 \(x_1, x_2, \dots, x_n\)。需要在这条直线上找一个点 \(P(x)\)，使得 \(P\) 到所有已知点的绝对距离之和最小，即最小化目标函数 \(f(x) = \sum \limits_{i=1}^n |x - x_i|\)。 结论 当 阅读全文

摘要： 归并排序 例题：P1177 【模板】排序 介绍一种新的排序算法——归并排序。要理解归并排序，首先要理解归并。考虑这样一个问题：给定两个有序的序列 \(a,b\)，把两个序列合并成一个序列，使得合并出的这个序列是有序的。 算法的过程很简单，维护两个位置 \(i\) 和 \(j\)，代表当前考虑 \(a 阅读全文

摘要： 快速排序 快速排序（Quick Sort）是计算机科学中最著名、应用最广泛的排序算法之一。它的核心思想是分治（Divide and Conquer），这个策略可以分为三个步骤： 分解（Divide）： 从待排序的数组中，挑选一个元素作为“基准”（Pivot）。 围绕这个基准，对数组进行“分区”（Pa 阅读全文

摘要： 同余类分析法 的基本思想是：利用同余关系将全体整数（或问题的状态空间）划分为若干个互不相交的等价类。 分类标准：选定一个基准数 \(M\)，根据每个数 \(x\) 满足 \(x \equiv r \pmod{M}\) 的余数 \(r\) 进行归类。 分析逻辑：如果一个性质对于某个余数 \(r\) 成 阅读全文

摘要： 差分约束系统用于求解 \(n\) 个未知数 \(x_1 \sim x_n\)，\(m\) 个形如 \(x_u - x_v \le w\) 也就是 \(x_u \le x_v + w\) 的不等式的解。 两种建图方式： \(v\) 向 \(u\) 连边权为 \(w\) 的有向边，建立虚点 \(0\) 阅读全文

摘要： Treap 是一种结合了 二叉搜索树（Binary Search Tree） 和 二叉堆（Binary Treap） 特性的高级平衡数据结构，其名称正是由这两个词组合而成：Tree + Heap \(Rightarrow\) Treap。 更具体地说，Treap 中的每个节点都存储了一个二元组 \( 阅读全文

摘要： 假设有一个包含 \(N\) 个节点的树，要求“树上距离等于 \(K\) 的点对（路径）有多少个？”。 暴力做法枚举任意两个点，然后算它们之间的距离。总共有 \(O(N^2)\) 条路径，时间复杂度是 \(O(N^2)\)。当 \(N=10^5\) 时，直接超时。而点分治算法可以将时间复杂度优化到 \ 阅读全文

摘要： 莫队算法是一种由莫涛提出的基于平方根分解思想离线处理区间查询问题的算法，其时间复杂度通常为 \(O((N+Q) \sqrt{N})\)，其中 \(N\) 是数组大小，\(Q\) 是查询次数。 莫队算法成功的关键在于它不按原始顺序处理查询，而是根据索引进行离线排序。首先将所有左端点在第 1 块的查询处 阅读全文

摘要： 分块算法被称为“优雅的暴力”，它是一种通过将数据分成若干个大小相等的“块”，从而平衡修改和查询时间复杂度的算法思想。 在信息学竞赛中，如果线段树、树状数组等高级数据结构难以实现，分块往往可以作为一种“保底”甚至首选方案。 核心思想：根号平衡 分块的核心在于一个简单的数学观察：如果将长度为 \(n\) 阅读全文