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摘要： 在算法竞赛中，博弈论问题通常涉及到两名玩家轮流操作。要理解复杂的博弈模型，通常从最基础、最经典的 Nim 游戏 开始。 Nim 游戏 Nim 游戏是博弈论中最基础的模型。 游戏规则 有 \(n\) 堆石子，第 \(i\) 堆石子数为 \(a_i\)。两名玩家轮流从任意一堆中取走任意数量的石子（至少取 阅读全文

摘要： 容斥原理在组合数学中用来求 \(n\) 个有限集的并集的基数（又称势，即集合元素个数）。设 \(n\) 个有限集分别为 \(S_1, S_2, \dots, S_n\)，那么它们的并集的基数可以表示为：\(|S_1 \cup \cdots \cup S_n| = \sum \limits_i |S_ 阅读全文

摘要： 引理 1：\(C_{p}^x \equiv 0 \pmod{p}, \ 0 \lt x \lt p\)。因为 \(C_p^x = \dfrac{p!}{x!(p-x)!} = \dfrac{p(p-1)!}{x(x-1)!(p-x)!} = \dfrac{p}{x} C_{p-1}^{x-1}\)， 阅读全文

摘要： 在线性代数中，线性基是一个向量空间的基。在算法竞赛中，通常讨论两种线性基： 异或线性基：针对整数的异或（XOR）运算。 实数线性基：针对实数向量的加法和数乘运算（通常通过高斯消元实现）。 异或线性基 对于一组数 \(A = \{ a_1, a_2, \dots, a_n \}\)，它们的异或线性基 阅读全文

摘要： 在算法竞赛中，高斯消元法常用于求解 \(n\) 元一次方程组。 一个包含 \(n\) 个变量和 \(m\) 个方程的线性方程组可以表示为： \[\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a 阅读全文

摘要： 当需要将 \(N!\) 分解为质因数的乘积时，直接计算阶乘再分解显然不现实，因为 \(N\) 稍大时结果就会巨大无比。勒让德公式提供了一种优雅的方法，可以直接计算出 \(N!\) 中每个质因子的指数，而不需要计算阶乘本身。 勒让德公式：对于任意质数 \(p\)，阶乘 \(N!\) 中质因子 \(p\ 阅读全文

摘要： 单源次短路径指的是在某个无向图 \(G=(V,E)\) 中，给定某个源点 \(v\)，由 \(v\) 到其他顶点的所有路劲中长度为次短的路径，单源次短路径问题是单源 \(k\) 短路径问题的特例。对于一般的单源 \(k\) 短路径问题，可以通过扩展 Dijkstra（要求没有负权边）算法来求解。 例 阅读全文

摘要： 在标准的最短路问题中，状态通常只由节点编号决定。但在实际建模时，会遇到一些带有“限制条件”或“附加状态”的题目，例如： 资源限制：移动需要消耗资源，或者在节点处可以补充资源。 次数限制：可以免费通过 \(k\) 条边，或者有 \(k\) 次反转边权的机会。 开关状态：某些边的开启取决于当前是否持有了 阅读全文

摘要： 一般求解最短路径，高效的方法是 Dijkstra 算法，如果用优先队列实现则时间复杂度为 \(O(m \log m)\)，\(m\) 为边数。但是在边权为 \(0\) 或 \(1\) 的特殊图中，利用双端队列可以在 \(O(n+m)\) 时间内求得最短路径。Dijkstra 算法中优先队列的作用是保 阅读全文

摘要： 洪水填充算法（flood fill algorithm），也称为泛洪算法，用于将格点的某一个连通区域内的所有格点状态修改为目标状态，状态往往用颜色表示。一般的处理方法是，从一个起始点开始把附近与其连通的点填充成新的颜色，直到连通区域内的所有点都被处理过为止，因为其思路类似洪水从一个区域扩散到所有能到 阅读全文