高精度运算

在 C++ 中，常用的整型数据类型都有其取值范围限制：

• int：通常为 32 位，最大值约为 \(2 \times 10^9\)。
• long long：通常为 64 位，最大值约为 \(9 \times 10^{18}\)。

然而，有时候需要处理的数字会超过这个范围。此时，任何内置的整型变量都无法存储。因此，需要使用高精度算法，通过数组来模拟大整数的存储和运算。

例题：P1601 A+B Problem（高精）

高精度加法的核心思想是模拟小学数学中的竖式加法。

由于数字太大，通常使用字符串来读入数据。读入后，为了方便计算（让个位对齐），将字符串倒序存储到一个整型数组中。倒序意味着数组下标 0 存储个位，下标 1 存储十位，下标 2 存储百位……以此类推。

为什么倒序？

因为加法运算可能会产生进位，进位会影响高一位的数值。如果数组下标从小到大对应个位到高位，进位处理起来非常方便。如果正序存储，处理进位时需要向数组下标更小的方向操作，且可能涉及到数组头部插入（如果最高位进位），效率较低且实现麻烦。

假设有两个大整数 \(A\) 和 \(B\)，分别存储在两个数组中，需要逐位计算结果 \(C_i = A_i + B_i + \text{上一位的进位}\)。而当前位的结果为 \(C_i \bmod 10\)，新的进位为 \(\left\lfloor \dfrac{C_i}{10} \right\rfloor\)。

参考代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int N = 505;
char s1[N], s2[N]; // 存储输入的两个大整数（字符串形式）
int a[N], b[N], c[N]; // a和b分别存储两个加数的每一位，c存储结果
int main()
{
    // 读入两个大整数
    scanf("%s%s", s1, s2);
    int len1 = strlen(s1), len2 = strlen(s2);
    
    // 将第一个字符串倒序转换为数字数组，a[0]存储个位，a[1]存储十位...
    // 这样做是为了方便对齐相加，个位对个位
    for (int i = 0; i < len1; i++) {
        a[i] = s1[len1 - i - 1] - '0';
    }
    // 将第二个字符串倒序转换为数字数组
    for (int i = 0; i < len2; i++) {
        b[i] = s2[len2 - i - 1] - '0';
    }
    
    int t = 0, last = 0; // t用于存储进位，last用于记录结果的最高位位置
    // 高精度加法核心逻辑
    // 循环条件：只要 s1 或 s2 还有位未处理，或者还有进位 t，就继续循环
    for (int i = 0; i < len1 || i < len2 || t > 0; i++) {
        if (i < len1) t += a[i]; // 加上 s1 当前位的数值（如果还没超出s1长度）
        if (i < len2) t += b[i]; // 加上 s2 当前位的数值（如果还没超出s2长度）
        c[i] = t % 10;           // 存储当前位的结果（当前和对 10 取模）
        t /= 10;                 // 计算下一位的进位
        last = i;                // 更新结果的最高位下标
    }
    
    // 倒序输出结果，从最高位打印到个位
    for (int i = last; i >= 0; i--) {
        printf("%d", c[i]);
    }
    return 0;
}