文章分类 - 数学
摘要：正向级数的基本概念 定义 常数项级数中，各项董事正数或零的级数称为正向级数 正向级数的审敛法 定理1 $$ 正向级数\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛的充分条件是：它的部分和数列{S_n}有界 $$ 定理2 $$ 设\sum_{n=1}^{\infty}u_n与\sum_{n=1}^{
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摘要：二阶线性微分方程的定义 $$ 方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)叫做二阶线性微分方程，当方程右端f(x)\equiv 0时，称\ 为二阶齐次线性微分方程，否则称为二阶非齐次线性微分方程 $$ 线性微分方程解的结构 定理1 $$ 如果函数y_1(x),y_2(x)均是y''+p(x)y'+
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摘要：微分方程的基本概念 定义 含有自变量、未知函数、未知函数的各阶导数的等式称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程 微分方程的阶 微分方程中含有未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶 $$ n阶微分方程的一般形式是F(x,y,y',\dots,y^{(n)})=0,其中y^{(n)}必须
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摘要：积分区域关于x或y对称的性质 $$ (1)若积分区域D关于x轴对称，则\ \iint\limits_Df(x,y)d\sigma=\begin{cases} 0,\qquad若f(x,-y)=-f(x,y),\ 2\iint \limits_{D_1}f(x,y)d\sigma,\qquad 若f(
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摘要：二重积分的换元公式 $$ 设f(x,y)在xOy平面上的闭区域D上连续，若变换T:x=x(u,v),y=y(u,v)将uOv\ 平面上的闭区域D'变成xOy平面上的D，且满足\ 1)x=x(u,v),y=y(u,v)在D'上具有一阶连续偏导数；\ 2)在D'上雅可比式\ J(u,v)=\frac{\
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摘要：二重积分的概念 $$ 设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域D任意分成n个小闭区域\ \Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\dots,\Delta\sigma_n其中\Delta_i即表示第i个小区域，也表示它的面积，在每个\Delta\sigma_i上任取一点\
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摘要：条件极值 来格朗日乘除法 $$ 求目标函数f(x,y)在附件条件\varphi(x,y)=0下的极值（或最值）；\ 先作拉格朗日函数F(x,y)=f(x,y)+\lambda\varphi(x,y),其中\lambda为参数\ 解方程组\ \begin{cases}F_x'=f_x(x,y)+\la
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摘要：极值的定义 $$ 设函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)的某个邻域内有定义，如果对此邻域内任意异于\ (x_0,y_0)的点(x,y)都有\ f(x,y)<f(x_0,y_0)\ 则称函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)有极大值f(x_0,y_0)，点(x_0,y_0)称为函数f(x,y
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摘要：1.隐函数求偏导 （1）隐函数存在定理1（一元隐函数） $$ 设函数F(x,y)在点P(x_0,y_0)的某一邻域内具有连续偏导数，且F(x_0,y_0)=0,若\ F_y(x_0,y_0)\neq 0,则方程f(x,y)=0在点(x_0,y_0)的某一邻域内能唯一确定一个连续且具有\ 连续偏导数的
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摘要：1.全微分的概念 （1）定义 $$ 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义,如果函数在点(x,y)的全增量\ \Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)可表示为\Delta z=A\Delta x+B\Delta y +o(\rho),其中A和B
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摘要：1.偏导数的基本概念 （1）定义 $$ 设函数z=f(x,y)在点(x_0,y_0)的某邻域内有定义，如果\ \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}\ 存在，则称此极限为函数z=f(x,y
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摘要：1.多元函数的概念 （1）定义 $$ 设D是平面上的一个非空子集，称映射f:D\rightarrow R为定义在D上的二元函数，记为\ z=f(x,y),(x,y)\in D\ 其中点集D称为函数的定义域，集合f(D)={z|z=f(x,y),(x,y)\in D}称为函数的值域\ 类似可定义三元函
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摘要：1. 无穷限的反常积分 定义1： $$ (1)设函数f(x)在区间[a,+\infty)上连续，如果\ \int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{t\rightarrow+\infty}\int_a^{t}f(x)dx\ 极限存在,则称反常积分\int_a^{+\infty}f(x)
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摘要：定积分的换元积分法 $$ 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数x=\varphi(t)满足条件：\ (1)\varphi(\alpha)=a,\varphi(\beta)=b\ (2)\varphi(t)在\alpha,\beta上具有连续导数，且值域R_{\varphi}=[a,b],则有\
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摘要：牛顿-莱布尼斯公式 定义 $$ 设f(x)在[a,b]上连续，F(x)为f(x)在[a,b]上的一个原函数，则\ \int_a^bf(x)dx=F(x)\Big|_a^b=F(b)-F(a) $$ $$ 证明：设G(x)=\int_a^xf(t)dt\qquad x\in[a,b]\ 因f(x)在[
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摘要：微积分基本公式 变限积分函数 定义： $$ 设f(x)在[a,b]上可积，则F(x)=\int_a^xf(t)dt,x\in[a,b]称为变上限积分函数 $$ $$ 证明：当x\in(a,b)时\ \Delta F=F(x+\Delta x)-F(x)\ =\int_a^{x}f(t)dt-\int
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摘要：定积分的性质 为以后计算方便，对定积分补充两点规定 $$ \begin{align} &(1)\int_a^af(x)dx=0\ &(2)\int_b^af(x)dx=-\int_a^bf(x)dx \end{align} $$ 性质1（线性性质） $$ 设k_1与k_2均为常数，则\ f\big[
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摘要：定积分的定义 $$ \qquad 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点a=x_0<x_1<\dots\ <x_{n-1}<x_n<b,把区间[a,b]分成n个小区间[x_0,x_1],[x_1,x_2],\dots ,[x_{n-1},x_n],各个小区间的\ 长度依次
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摘要：有理函数积分 $$ 两个多项式的商\frac{P(x)}{Q(x)}称为有理函数，又称理式，我们总假定分子多项式P(x)与分\ 分母多项式Q(x)之间没有公因式。当分子多项式P(x)的次数小于分母多项式Q(x)的次数\ 时，称这个有理式为真分式，否则称为假分式 $$ **利用多项式的除法，总可以将一
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摘要：分部积分公式 $$ \begin{align} 设：u(x),u(v)具有连续的导数，则\int udv=uv-\int vdu \end{align} $$ $$ 【例】计算不定积分I=\int \arctan xdx\ \begin{align} &=\frac12\int\arctan xd(
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