二重积分的换元法

二重积分的换元公式

\[设f(x,y)在xOy平面上的闭区域D上连续，若变换T:x=x(u,v),y=y(u,v)将uOv\\ 平面上的闭区域D'变成xOy平面上的D，且满足\\ 1)x=x(u,v),y=y(u,v)在D'上具有一阶连续偏导数；\\ 2)在D'上雅可比式\\ J(u,v)=\frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)}\neq 0;\\ 3)变换T:D'\rightarrow D是一对一的\\ 则有\\ \iint\limits_Df(x,y)dxdy=\iint\limits_Df[x(u,v),y(u,v)]|J(u,v)|dudv \]

利用极坐标计算二重积分

\[若D=\{(r,\theta)|\alpha\leq \theta\leq\beta,r_1(\theta)\leq r\leq r_2(\theta)\},则\\ I=\iint\limits_Df(x,y)\sigma=\int_{\alpha}^{\beta}d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos \theta,r\sin \theta)rdr \]

选择极坐标计算二重积分的一般原则：

\[(1)积分区域的边界曲线方程用极坐标表示比较简单（比如边界曲线与圆有关时）\\ (2)被积函数表达式用极坐标表示比较简单(如(x^2+y^2)^{\alpha},\alpha为实数) \]