微分方程基本概念

微分方程的基本概念

定义

含有自变量、未知函数、未知函数的各阶导数的等式称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程

微分方程的阶

微分方程中含有未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶

\[n阶微分方程的一般形式是F(x,y,y',\dots,y^{(n)})=0,其中y^{(n)}必须出现，\\ x,y,y',\dots,y^{(n-1)}等变量可以不出现 \]

微分方程的解

1)解

把一个函数代入微分方程后能使方程成为恒等式，则称该函数为这个微分方程的解

2）通解

如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数等于该微分方程的阶数，这样的解称为微分方程的通解

3）特解

不含任意常数的解称为微分方程的特解，可以确定通解中任意常数的条件称为定解条件，最常见的定解条件是初始条件，求特解时初始条件的个数要等于微分方程的阶数。