定积分的概念

定积分的定义

\[\qquad 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点a=x_0<x_1<\dots\\ <x_{n-1}<x_n<b,把区间[a,b]分成n个小区间[x_0,x_1],[x_1,x_2],\dots ,[x_{n-1},x_n],各个小区间的\\ 长度依次为\Delta x_1=x_1-x_0,\Delta x_2=x_2-x_1,\dots,\Delta x_n=x_n-x_{n-1},在每个小区间[x_{i-1},x_i]上任取一\\ 点\xi_i(x_{i-1}\leq\xi_i\leq x_i)，作为函数值f(\xi_i)与区间长度\Delta x_i的乘积f(\xi_i)\Delta x_i(i=1,2,\dots,n),\\ 并作和S=\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i,记\lambda=\max [\Delta x_1,\Delta x_2,\dots ,\Delta x_n],如果当\lambda\rightarrow 0时，这和的极限总\\ 存在,并且与闭区间[a,b]的分法及点\xi_i的取法无关，那么称这个极限I为函数f(x)在区间\\ [a,b]上的定积分，记作\int_a^b f(x)dxn及\\ \int_a^b f(x)dx=\lim\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x\\ 其中f(x)叫被积函数，f(x)dx叫做北极表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间。 \]

2，可积的条件

1，可积的必要条件：可积函数比有界

可积的充分条件：

1，设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积（存在原函数）

2，设f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积

\[连续\Rightarrow可积 \qquad \nRightarrow连续 \]

震荡间断点可能有原函数，其他间断点没有原函数

---

\[\qquad 定积分定义中的两个“任意”-分法任意：\xi_i的取法任意，从而如果采取将[a,b]平均\\ 分割为n份且\xi_i取区间右端点的做法，那么\int_a^bf(x)dx=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n}f(a+\frac{b-a}ai):特\\ 别的当a=0，b=1是，\int_0^1时，\int_0^1f(x)dx=\lim\frac1n\sum_{i=1}^nf(\frac1n),也就是说利用定积分可以帮助\\ 我们求n项和式的极限\\ 熟记公式：1，\int_a^bf(x)dx=\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{b-a}n\sum_{i=1}^nf(a+\frac{b-a}ni)\\ 2,\int_0^1f(x)dx=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac1n\sum_{i=1}^nf(\frac in) \]

\[【例】求极限\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n\sqrt{1=\frac in}\\ \begin{align} &\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1n\sum_{i=1}^nf(\frac in)\\ &f(\frac in)=\sqrt{1+\frac in}\\ &=\int_0^1\sqrt{1+x}dx \end{align} \]

\[【例】求极限\lim\sum_{i=1}^n\frac i{n^2}\ln(1+\frac in) \]

\[\begin{align} &=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^n\frac 1n\frac in\ln{(1+\frac in)}\\ &=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1n\sum_{i=1}^n\frac in\ln(1+\frac in)\\ &=\int_0^1x\ln(1+x)dx\\ &=\int_0^1\ln(1+x)dx^2-1\\ &=\frac12[(x^2-1)\ln(1+x)\Big|_0^1-\int_0^1\frac{x^2-1}{1+x}dx]=\frac14 \end{align} \]

---

定积分的几何意义：曲边梯形面积的代数和

\[【例】计算\int_0^2\sqrt{2x-x^2}dx\\ y^2=2x-x^2\Rightarrow (x-1)^2+y^2=1 \]