简单有理函数积分

有理函数积分

\[两个多项式的商\frac{P(x)}{Q(x)}称为有理函数，又称理式，我们总假定分子多项式P(x)与分\\ 分母多项式Q(x)之间没有公因式。当分子多项式P(x)的次数小于分母多项式Q(x)的次数\\ 时，称这个有理式为真分式，否则称为假分式 \]

**利用多项式的除法，总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式 **

\[\begin{align} &【例】计算不定积分\int\frac{x+1}{x^2-5x+6}\\ &=\int \frac{x+1}{(x-2)(x-3)}dx\\ &=\frac{A}{x-2}+\frac B{x-3}=\frac{A(x-3)+B(x-2)}{(x-2)(x-3)}=\frac{x+1}{(x-2)(x-3)}\\ &把x=2,x=3代入得A=-3,B=4\\ &从而\int \frac{x-1}{x^2-5x+6}=\frac {-3}{x-2}+\frac 4{x-3}\\ &=-3\int \frac1{x-2}d(x-2)+4\int\frac1{x-3}d(x-3)\\ &=-3\ln|x-2|+4|x-3|+C \end{align} \]

\[【例】\int\frac1{(x+1)^2(x-1)}dx \]

\[解：\frac1{(x+1)^2(x-1)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{x-1}\\略 \]