牛顿-莱布尼斯公式

牛顿-莱布尼斯公式

定义

\[设f(x)在[a,b]上连续，F(x)为f(x)在[a,b]上的一个原函数，则\\ \int_a^bf(x)dx=F(x)\Big|_a^b=F(b)-F(a) \]

\[证明：设G(x)=\int_a^xf(t)dt\qquad x\in[a,b]\\ 因f(x)在[a,b]连续 \qquad G'(x)=f(x)\\ 故G(x)为f(x)的一个原函数\\ 又F(x)为f(x)的一个原函数，\\ 故F(x)=G(x)+C\\ 从而有F(a)=G(a)+C=\int_a^af(t)dt+C=C\\ F(b)=G(b)+C=G(b)+F(a)\\ \Rightarrow G(b)=F(b)-F(a)\\ \Rightarrow \int_a^bf(t)dt=F(b)-F(a)=F(x)\Big|_a^b \]

\[【例】计算\int_{-2}^{-1}\frac{dx}x\\ =\ln|x|\Big|_{-2}^{-1}=\ln|-1|-\ln|-2|=-\ln2 \]

\[【例】计算\int_{-1}^{\sqrt3}\frac {dx}{1+x^2}\\ \arctan x\Big|_{-1}^{\sqrt3}\\ =\arctan \sqrt3-\arctan (-1)=\frac{\pi}3-(-\frac{\pi}4) \]