反常积分

1. 无穷限的反常积分

定义1：

\[(1)设函数f(x)在区间[a,+\infty)上连续，如果\\ \int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{t\rightarrow+\infty}\int_a^{t}f(x)dx\\ 极限存在,则称反常积分\int_a^{+\infty}f(x)dx收敛，并称此极限值为该反常积分的值；若极限不存在，\\ 则称反常积分\int_a^{+\infty}f(x)dx发散\\ (2)设函数f(x)在(-\infty,b]上连续，如果\\ \int_{-\infty}^bf(x)dx=\lim_{t\rightarrow-\infty}\int_t^bf(x)dx\\ 极限存在，则称反常积分\int_{-\infty}^bf(x)dx收敛，并称此函数极限值为该反常积分的值；若极限不存在，\\ 则称反常积分\int_{-\infty}^bf(x)dx发散 \]

\[(3)设函数f(x)在区间(-\infty,+\infty)上连续，反常积分\int_{-\infty}^0f(x)dx与反常积分\int_0^{+\infty}f(x)dx之\\ 和称为无穷区间(-\infty,+\infty)上的反常积分，记为\int_{-\infty}^{+\infty}\\ \qquad 如果反常积分\int_{-\infty}^0f(x)dx与反常积分\int_0^{+\infty}f(x)dx之和为反常积分\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\\ 收敛，并称反常积分\int_{-\infty}^0f(x)dx与\int_0^{+\infty}之和为反常积分\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx的值，否则称反常积分\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx发散 \]

2.无界函数的反常积分

暇点：如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界，则称点为a为函数f(x)的暇点、

定义2

\[(1)设函数f(x)在区间(a,b]上连续，点a为f(x)的暇点，如果\\ \int_a^bf(x)dx=\lim_{\var\rightarrow0^+}\int_{a+\var}^bf(x)dx\\ 极限存在，则称反常积分\int_a^bf(x)dx收敛，并称此极限值为该反常积分的值；若极限不存在，\\ 则称反常积分\int_a^bf(x)dx发散 \]

\[(2)设函数f(x)在区间[a,b)上连续，点b为f(x)的暇点，如果\\ \int_a^bf(x)dx=\lim_{\var\rightarrow0^+}\int_a^{b-\var}f(x)dx\\ 极限存在，则称反常积分\int_a^bf(x)dx收敛，并称此极限值为该反常积分的值；若极限不存在，\\ 则称反常积分\int_a^bf(x)dx发散 \]

\[(3)设函数f(x)在区间(a,b)内连续，点a,b均为f(x)的暇点，如果反常积分\int_a^bf(x)dx\\ 与\int_c^bf(x)dx均收敛(a<c<b)，则称反常积分\int_a^bf(x)dx收敛，并称反常积分\int_a^cf(x)dx\\ 与\int_c^bf(x)dx之和为反常积分\int_a^b(x)dx的值；否则，就称反常积分\int_a^bf(x)dx发散 \]

\[(4)设函数f(x)在区间[a,c)及区间(c,b]上连续，点c为f(x)的暇点，如果反常积分\\ \int_a^cf(x)dx与\int_c^bf(x)dx均收敛，则称反常积分\int_a^bf(x)dx收敛，并称反常积分\int_a^cf(x)dx与\\ \int_c^bf(x)dx之和为反常积分\int_a^bf(x)dx的值；否则，就称反常积分\int_a^bf(x)dx发散 \]

3. 反常积分的审敛法

(1)无穷限反常积分的审敛法

定理1

\[设函数f(x)在区间[a,+\infty)上连续，且f(x)\geq 0,若函数F(x)=\int_a^xf(t)dt在[a,+\infty)\\ 上有界，则反常积分\int_a^{+\infty}f(x)dx收敛。 \]

定理2(比较审敛法)

\[设函数f(x),g(x)在区间[a,+\infty)上连续，如果0\leq f(x)\leq g(x)\\ (a\leq x<+\infty),并且\int_a^{+\infty}g(x)dx收敛；如果\int_a^{+\infty}f(x)dx发散，\\ 那么\int_a^{+\infty}g(x)dx也发散 \]

定理3（比较审敛法的极限形式）

\[设函数f(x),g(x)在区间[a,+\infty)上连续且非负，如果\\ \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=l,则\\ (I)当l\neq 0 时，\int_a^{+\infty}f(x)dx与\int_a^{+\infty}g(x)dx同敛散性；\\ (II)当l=0时，若\int_a^{+\infty}g(x)dx收敛，则\int_a^{+\infty}f(x)收敛，若\int_a^{+\infty}f(x)dx发散，则\\ \int_a^{+\infty}g(x)dx发散；\\ (III)l=\infty时，若\int_a^{+\infty}f(x)dx收敛，则\int_a^{+\infty}g(x)dx收敛，若\int_a^{+\infty}g(x)dx发散，则\\ \int_a^{+\infty}f(x)dx发散 \]

注：常用来做比较的无穷限的反常积分（熟记）

\[1,\int_a^{+\infty}\frac1{x^p}dx\begin{cases}收敛，p>1\\ 发散,p\leq1\end{cases}(a>0)\\ 2,\int_a^{+\infty}\frac1{x\ln^px}dx\begin{cases}收敛，p>1\\ 发散p\leq1\end{cases}(a>1) \]

(2)无界函数的反常积分的审敛法

定理4（比较审敛法）

\[在x\in(a,b]上，f(x),g(x)连续，x=a为暇点，且0\leq f(x)\leq g(x)\\ 若\int_a^bg(x)dx收敛，则\int_a^bf(x)dx收敛；\\ 若\int_a^bf(x)dx发散，则\int_a^bg(x)dx发散 \]

注：常用来做比较的无界函数的反常积分

\[\int_a^b\frac1{(x-a)^q}dx\begin{cases}收敛，0<q<1,\\ 发散,q\ge1\end{cases} \]