定积分的性质

定积分的性质

为以后计算方便，对定积分补充两点规定

\[\begin{align} &(1)\int_a^af(x)dx=0\\ &(2)\int_b^af(x)dx=-\int_a^bf(x)dx \end{align} \]

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性质1（线性性质）

\[设k_1与k_2均为常数，则\\ f\big[k_1f_1(x)+k_2f_2(x)\big]dx=k_1\int_a^bf_1(x)dx+k_2\int_a^bf_2(x)dx \]

性质2（定积分对区间的可加性）

\[\int_a^b f(x)dx =\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx=\int_a^{x_1}f(x)dx+\int_{x_1}^{x_2}f(x)dx+\dots +\int_{x_n}^bf(x)dx \]

\[若a<b<c\\ \int_a^cf(x)dx=\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx\\ \Rightarrow\int _a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx-\int_b^cf(x)dx\\ \Rightarrow \int_a^bf(x)dx=\int_a^cf(x)dx+\int_c^bf(x)dx \]

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性质3

\[如果在区间[a,b]上f(x)\equiv1,那么\int_a^b1dx=\int_a^bdx=b-a \]

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性质4

\[如果在区间[a,b]上f(x)\geq 0,那么\int_a^bf(x)dx\geq 0(a>b) \]

\[若f(x)在区间[a,b]连续，且f(x)\geq 0,但f(x)\ne0，这\int_a^bf(x)dx>0 \]

推论：

\[如果在区间[a,b]上f(x)\leq g(x),那么\int_a^bf(x)dx\leq\int_a^bg(x)dx(a<b) \]

\[应g(x)\geq f(x)故g(x)-f(x)\geq0\\ 则有\int_a^b\Big[g(x)dx-f(x)dx\Big]\geq0\\ \Rightarrow\int_a^bg(x)dx-\int_a^bf(x)dx\geq 0\\ \Rightarrow \int_a^bg(x)dx\geq \int_a^bf(x)dx \]

反之不一定

\[若\int_a^bf(x)dx\leq\int_a^bg(x)dx\\ \nRightarrow f(x)\leq g(x) \]

推论2

\[\Big|\int_a^bf(x)dx\Big|\leq\int_a^b|f(x)|dx(a<b)\\ -|f(x)|\leq f(x)\leq|f(x)\\ \Rightarrow-\int_a^b|f(x)|dx \leq\int_a^bf(x)dx\leq\int_a^b|f(x)|dx\\ \Rightarrow\Big|\int_a^bf(x)dx\Big|\leq\int_a^b|f(x)|dx \]

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性质5（估值定理）

\[设m及M分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最小值与最大值，则\\ m(b-a)\leq\int_a^bf(x)dx\leq M(b-a)\qquad (a<b) \]

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性质6（定积分中值定理）

\[设f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点\xi\in[a,b],使\\ \int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a)\\ 按积分中值定理所得分f(\xi)\frac1{b-a}\int_a^bf(x)dx称为函数f(x)在[a,b]上的 平均值 \]

\[\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a)\\ \Rightarrow f(\xi)=\frac {\int_a^bf(x)dx}{b-a}\\ 证：\because f(x)在[a,b]上连续\\ \therefore f(x)存在最大值记为M，最小值记为m\\ 有m\leq f(x)\leq M\\ 由估值定理有m(b-a)\leq\int_a^bf(x)dx\leq M(b-a)\\ \Rightarrow m\leq\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}\leq M\\ 有介值定理\exist \xi \in[a,b]\\ f(\xi)=\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}\qquad \int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a) \]

\[【例】设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且3\int_{\frac23}^1f(x)dx=f(0)\\ 证明：在(0,1)内存在一点\xi，使f'(\xi)=0 \]

\[证明：有题意f(x)在[\frac23,1]连续\\ 故由曲面积分中值定理 \exist \eta\in[\frac23,1]\\ \int_{\frac23}^1f(x)dx=f(\eta)\cdot(1-\frac23)=\frac13f(\eta)\\ 又2\int_{\frac23}^1f(x)dx=f(0),故f(\eta)=f(0)\\ 又f(x)在[0,\eta]连续，[0,\eta]可导，且f(\eta)=f(0)\\ 故由罗尔定理\exist\xi\in(0,\eta)\subset(0,1) \\ f'(\xi)=0 \]

\[【例】设函数f(x)=3\int_0^2f(x)dx+Cx,且f(x)在[0,2]上的平均值为2,则f(1)=? \]

\[\frac12\int_0^2f(x)dx=2\Rightarrow\int_0^2f(x)dx=4\\ f(x)=3\times4+Cx=12+Cx\\ 又\int_0^2f(x)dx=\int_0^212+Cxdx=12\times\int_0^21dx+C\int_0^2xdx\\ =12\times2+2C=24\\ C=-10\\ \therefore f(x)=12-10x \]