正项级数与交错级数

正向级数的基本概念

定义

常数项级数中，各项董事正数或零的级数称为正向级数

正向级数的审敛法

定理1

\[正向级数\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛的充分条件是：它的部分和数列\{S_n\}有界 \]

定理2

\[设\sum_{n=1}^{\infty}u_n与\sum_{n=1}^{\infty}v_n都是正项级数，且v_n\leq v_n(n=1,2,\dots)若级数\sum_{n=1}^{\infty}v_n收敛，则级数\\ \sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛，若级数\sum_{n=1}^{\infty}u_n发散，则级数\sum_{n=1}^{\infty}v_n发散 \]

大收则小收

小法则大发

推论

\[设\sum_{n=1}^{\infty}u_n与\sum_{n=1}^{\infty}v_n都正项级数，且存在正整数N,使当n\geq N是，有u_n\leq v_n,若级数\\ \sum_{n=1}^{\infty}v_n 收敛，则级数\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛；若级数\sum_{n=1}^{\infty}u_n发散，则级数\sum_{n=1}^{\infty}v_n发散 \]

(比较判别法的极限形式)

\[设两个正项级数\sum_{n=1}^{\infty}u_n与\sum_{n=1}^{\infty}v_n(v_n\neq 0),若\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_n}{v_n}=l,则\\ (1)当0<l<+\infty时，则级数\sum_{n=1}^{\infty}u_n与\sum_{n=1}^{\infty}同时收敛或同时发散\\ (2)当l=0是，如果\sum_{n=1}^{\infty}v_n收敛，则级数\sum_{n=1}^{\infty}u_n必收敛；如果\sum_{n=1}^{\infty}u_n发散，则级数\sum_{n=1}^{\infty}v_n必发散\\ (3)当l=+\infty如果\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛，则级数\sum_{n=1}^{\infty}v_n收敛，如果 \]

定理4（比值审敛法）

\[设\sum_{n=1}^{\infty}u_n为正项级数，如果\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=l,那么当l<1时,级数\sum_{n=1}^{\infty}u_n收敛，当l<1时，\\ 级数\sum_{n=1}^{\infty}u_n发散；当l=1时，级数可能收敛也可能发散 \]

定理6

\[设f(x)在【1，+\infty)上非负的减函数，那么正项级数\sum_{n=1}^{\infty}f(n)与反常积分\int_1^{+\infty}f(x)dx同时收敛发散 \]