νεκκοιανδ

摘要： 21 (1) \[ |MF|=|MP| \Rightarrow |MF|-|ME|=|EP|=2 \Rightarrow C:x^2-\frac{y^2}{3}=1 \] (2) 其他的存档： 22 (1) \[ a=1 \Rightarrow f(x)=e^x+e^{-x}-x^2-2 \Righ 阅读全文

摘要： 设抛物线 \(\Gamma:y^2=2px(p>0)\)，直线 \(l:x=my+p\) 经过 \(T(p,0)\) 并且与 \(\Gamma\) 交于两点 \(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)\) 求证：\(\frac{1}{|AT|^2}+\frac{1}{|BT|^2}=\frac{ 阅读全文

摘要： \[ \begin{aligned} &\text{Part I.} \\ &\int_0^{A}\frac{f'(x)}{f^2(x)}dx=-\frac{1}{f(x)} \bigg|_0^A=\frac{1}{f(0)}-\frac{1}{f(A)} \\ &\int_{0}^{+\infty 阅读全文

摘要： 判断敛散性：\(\int_0^{+\infty} \frac{\sin^2x}{x^p}dx\) \[ \begin{aligned} &当 p \le 0 时显然发散 \\ &\int_0^{+\infty} \frac{\sin^2x}{x^p}dx= \int_0^{1} \frac{\sin 阅读全文

摘要： 计算：\(\int_0^{+\infty}\frac{\ln x}{(1+x)^2}dx\) \[ \begin{aligned} I&=\int_0^{+\infty} \frac{\ln x}{(1+x)^3}dx \\ &=-\int_0^{+\infty} \frac{\ln \frac{1 阅读全文

摘要： \[ \begin{aligned} &F(x)=\int_0^{x}f(t)dt,F'(x)=f(x) \\ &F'(x)=f(x) \le \sqrt{1+2F(x)} \\ &\int_0^{x}\frac{F'(t)}{\sqrt{1+2F(t)}}dt \le \int_0^xdx=x \ 阅读全文

摘要： 求：\(\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx\) \[ I=\int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx \\ \xlongequal{x=\tan t} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\ln(1+\tan t)}{\se 阅读全文

摘要： 微分方程习题课 小技巧：\(h+\sqrt{h^2-1}=g \Rightarrow (g-h)^2=\sqrt{h^2-1} \Rightarrow g^2-2gh+{\color{red}{h^2}}={\color{red}{h^2}}-1\) \[ \begin{aligned} &p=y' 阅读全文

摘要： 广义积分习题课————证明题 1 \[ \int_1^{+\infty}\sin x^2dx\sim \int_1^{+\infty} \sin x\frac{dx}{\sqrt{x}} 收敛(\frac{1}{2}<1),\lim_{x \to +\infty} \sin x^2:DNE \\ 非 阅读全文

摘要： 广义积分习题课————判断敛散性 1 \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{x\ln x}{\sqrt{x^5+1}}}{\frac{1}{x^{\frac{5}{4}}}}=0,\int _1^{+\infty} \frac{dx}{x^{\frac{5}{4}} 阅读全文