2024年10月16日
高等数学 5.5 反常积分的审敛法 Γ函数
摘要： 目录一、无穷限反常积分的审敛法二、无界函数的反常积分审敛法三、\(\Gamma\) 函数 一、无穷限反常积分的审敛法 定理1 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, +\infty)\) 上连续，且 \(f(x) \geqslant 0\).若函数 \[F(x) = \int_a^x f(t) 阅读全文
posted @ 2024-10-16 18:55 暮颜 阅读(347) 评论(0) 推荐(0)
高等数学 5.4反常积分
摘要： 目录一、无穷限的反常积分二、无界函数的反常积分 一、无穷限的反常积分 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, + \infty)\) 上连续，任取 \(t > a\) ，作定积分 \(\displaystyle \int_a^t f(x) \mathrm{d}x\) ，再求极限 \[\lim_ 阅读全文
posted @ 2024-10-16 18:09 暮颜 阅读(350) 评论(0) 推荐(0)
高等数学 5.3 定积分的换元法和分部积分法
摘要： 目录一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法 一、定积分的换元法 定理 设函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续，函数 \(x = \varphi(t)\) 满足条件： （1）\(\varphi (\alpha) = a, \varphi (\beta) = b\) ； （2） 阅读全文
posted @ 2024-10-16 15:20 暮颜 阅读(477) 评论(0) 推荐(0)
2024年10月14日
高等数学 5.2 微积分基本公式
摘要： 目录一、积分上限的函数及其导数二、牛顿-莱布尼茨公式 一、积分上限的函数及其导数 定理1 如果函数 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续，那么积分上限的函数 \[\Phi (x) = \int_a^x f(t) \mathrm{d}t \]在 \([a, b]\) 上可导，并且它的 阅读全文
posted @ 2024-10-14 18:50 暮颜 阅读(275) 评论(0) 推荐(0)
高等数学 5.1 定积分的概念与性质
摘要： 目录一、定积分的定义1.定义2.定积分的几何意义二、定积分的近似计算1.矩形法2.梯形法3.抛物线法三、定积分的性质 一、定积分的定义 1.定义 定义 设函数 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上有界，在 \([a, b]\) 中任意插入若干个分点 \[a = x_0 < x_1 < x_ 阅读全文
posted @ 2024-10-14 16:25 暮颜 阅读(472) 评论(0) 推荐(0)
2024年10月9日
高等数学 4.2 换元积分法（二）第二类换元法
摘要： 第二类换元法是：适当选择变量代换 \(x = \psi(t)\) ，将积分 \(\int f(x) \mathrm{d}x\) 化为积分 \(\int f[\psi(t)]\psi'(t)\mathrm{d}t\) .这是另一种形式的变量代换，换元公式可表达为 \[\int f(x) \mathrm 阅读全文
posted @ 2024-10-09 10:27 暮颜 阅读(324) 评论(0) 推荐(0)
2024年10月8日
高等数学 4.2 换元积分法（一）第一类换元法
摘要： 设 \(f(u)\) 具有原函数 \(F(u)\) ，即 \[F'(u) = f(u), \quad \int f(u) \mathrm{d}u = F(u) + C \]如果 \(u\) 是中间变量：\(u = \varphi(x)\) ，且设 \(\varphi (x)\) 可微，那么根据复合函 阅读全文
posted @ 2024-10-08 10:48 暮颜 阅读(287) 评论(0) 推荐(0)
2024年9月23日
高等数学 4.1 不定积分的概念与性质
摘要： 目录一、原函数与不定积分的概念二、基本积分表三、不定积分的性质 一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间 \(I\) 上，可导函数 \(F(x)\) 的导函数为 \(f(x)\) ，即对任一 \(x \in I\) ，都有 \[F'(x) = f(x) 或 \mathrm{d}F(x) = f 阅读全文
posted @ 2024-09-23 15:54 暮颜 阅读(189) 评论(0) 推荐(0)
高等数学 3.7 曲率
摘要： 目录一、弧微分二、曲率及其计算三、曲率圆与曲率半径*四、曲率中心的计算公式 渐屈线与渐伸线 一、弧微分 设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a, b)\) 内具有连续导数。在曲线 \(y = f(x)\) 上取固定点 \(M_0 (x_0, y_0)\) 作为度两户唱的基点，并规定依 \(x\) 阅读全文
posted @ 2024-09-23 10:49 暮颜 阅读(362) 评论(0) 推荐(0)
2024年9月22日
高等数学 3.6 函数图像的描绘
摘要： 利用导数描绘函数图形的一般步骤如下： （1）确定函数 \(y = f(x)\) 的定义域及函数所具有的某些特性（如奇偶性、周期性等），并求出函数的一阶导数 \(f^{'}(x)\) 和二阶导数 \(f^{''}(x)\) ； （2）求出一阶导数 \(f^{'}(x)\) 和二阶导数 \(f^{''} 阅读全文
posted @ 2024-09-22 15:38 暮颜 阅读(74) 评论(0) 推荐(0)
2024年9月20日
高等数学 3.5 函数的极值与最大值最小值
摘要： 目录一、函数的极值及其求法二、最大值最小值问题 一、函数的极值及其求法 定义 设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某邻域 \(U(x_0)\) 内有定义，如果对于去心邻域 \(\mathring{U}(x_0)\) 内的任一 \(x\) ，有 \[f(x) < f(x_0) \quad 阅读全文
posted @ 2024-09-20 15:06 暮颜 阅读(592) 评论(0) 推荐(0)
高等数学 3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性
摘要： 目录一、函数单调性的判定法二、曲线的凹凸性与拐点 一、函数单调性的判定法 定理1 设函数 \(y = f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，\((a, b)\) 内可导。 （1）如果在 \((a, b)\) 内 \(f^{'}(x) \geqslant 0\) 且等号仅限在有限多个点处成立 阅读全文
posted @ 2024-09-20 10:55 暮颜 阅读(178) 评论(0) 推荐(0)
2024年9月19日
高等数学 3.3 泰勒公式
摘要： 泰勒（Taylor）中值定理1 如果函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处具有 \(n\) 阶导数，那么存在 \(x_0\) 的一个邻域，对于该领域内的任一 \(x\) ，有 \[f(x) = f(x_0) + f^{'}(x_0)(x - x_0) + \cfrac{f^{''}(x_0) 阅读全文
posted @ 2024-09-19 15:38 暮颜 阅读(150) 评论(0) 推荐(0)
高等数学 3.2 洛必达法则
摘要： 定理1 设 （1）当 \(x \to a\) 时，函数 \(f(x)\) 及 \(F(x)\) 都趋于零； （2）在点 \(a\) 的某去心邻域内，\(f^{'}(x)\) 及 \(F^{'}(x)\) 都存在且 \(F^{'}(x) \neq 0\) ； （3）\(\lim \limits_{x 阅读全文
posted @ 2024-09-19 09:57 暮颜 阅读(215) 评论(0) 推荐(0)
2024年9月18日
高等数学 3.1 微分中值定理
摘要： 目录一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某邻域 \(U(x_0)\) 内有定义，并且在 \(x_0\) 处可导，如果对任意的 \(x \in U(x_0)\) ，有 \[f(x) \leqslant f(x_0) 阅读全文
posted @ 2024-09-18 16:19 暮颜 阅读(108) 评论(0) 推荐(0)
2024年9月17日
高等数学 2.5 函数的微分
摘要： 目录一、微分的定义二、微分的几何意义三、微分运算1、函数和、差、积、商的微分法则2、复合函数的微分法则四、微分在近似计算中的应用 一、微分的定义 定义 设函数 \(y = f(x)\) 在某区间内有定义，\(x_0\) 及 \(x_0 + \Delta x\) 在这区间内，如果函数的增量 \[\De 阅读全文
posted @ 2024-09-17 18:39 暮颜 阅读(299) 评论(0) 推荐(0)
2024年9月16日
高等数学 2.4 隐函数及由参数方程确定的函数的导数
摘要： 目录一、隐函数求导二、由参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率 一、隐函数求导 函数 \(y = f(x)\) 表示两个变量 \(y\) 与 \(x\) 之间的对应关系，这种对应关系可以用各种不同方式表达，例如 \(y = \sin x\) ，\(y = \ln x + \sqrt{1 - x^2 阅读全文
posted @ 2024-09-16 15:18 暮颜 阅读(511) 评论(0) 推荐(0)
2024年9月15日
高等数学 2.3 高阶导数
摘要： 一般地，函数 \(y = f(x)\) 的导数 \(y\ ' = f\ ' (x)\) 仍然是 \(x\) 的函数。我们把 \(y\ ' = f\ ' (x)\) 的导数叫做函数 \(y = f(x)\) 的二阶导数，记作 \(y\ ''\) 或 \(\cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\ 阅读全文
posted @ 2024-09-15 17:09 暮颜 阅读(139) 评论(0) 推荐(0)
2024年9月14日
高等数学 2.2 函数的求导法则
摘要： 目录1、常数和基本初等函数的导数公式2、函数的和、差、积、商的求导法则3、反函数的求导法则4、复合函数的求导法则 1、常数和基本初等函数的导数公式 公式 公式 （1） \((C)' = 0\) （2）\((x^{\mu})' = \mu x^{\mu - 1}\) （3）\((\sin x)' = 阅读全文
posted @ 2024-09-14 15:54 暮颜 阅读(100) 评论(0) 推荐(0)
高等数学 2.1 导数概念
摘要： 目录一、导数的定义函数在一点处的导数与导函数单侧导数二、导数的几何意义三、函数可导性与连续性的关系 一、导数的定义 函数在一点处的导数与导函数 定义 设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某个邻域内有定义，当自变量 \(x\) 在 \(x_0\) 处取得增量 \(\Delta x 阅读全文
posted @ 2024-09-14 14:52 暮颜 阅读(465) 评论(0) 推荐(0)