高等数学 2.2 函数的求导法则

目录

1、常数和基本初等函数的导数公式

公式 公式
（1） \((C)' = 0\) （2）\((x^{\mu})' = \mu x^{\mu - 1}\)
（3）\((\sin x)' = \cos x\) （4）\((\cos x)' = - \sin x\)
（5）\((\tan x)' = \sec^2 x\) （6）\((\cot x)' = - \csc^2 x\)
（7）\((\sec x)' = \sec x \tan x\) （8）\((\csc x)' = - \csc x \cot x\)
（9）\((a^x)' = a^x \ln a\) （10）\((\mathrm{e}^x)' = \mathrm{e}^x\)
（11）\((\log_a x)' = \cfrac{1}{x \ln a}\) （12）\((\ln x)’ = \cfrac{1}{x}\)
（13）\((\arcsin x)' = \cfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\) （14）$$(\arccos x)' = - \cfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$$
（15）\((\arctan x)’ = \cfrac{1}{1 + x^2}\) （16）\((\operatorname{arccot} x)’ = - \cfrac{1}{1 + x^2}\)

2、函数的和、差、积、商的求导法则

设 \(u = u(x), v = v(x)\) 都可导，则

（1）\((u \pm v)' = u' \pm v'\)
（2）\((C u)' = C u' (C是常数)\)
（3）\((u v)' = u' v + u v'\)
（4）\(\left( \cfrac{u}{v} \right)' = \cfrac{u' v - u v'}{v^2} (v \neq 0)\)

3、反函数的求导法则

设 \(x = f(y)\) 在区间 \(I_y\) 内单调、可导且 \(f' (y) \neq 0\) ，则它的反函数 \(y = f^{-1} (x)\) 在 \(I_x = f(I_y)\) 内也可导，且

\[[f^{-1}(x)]' = \cfrac{1}{f'(y)} \quad 或 \quad \cfrac{\mathrm d y}{\mathrm d x} = \cfrac{1}{\frac{\mathrm d x}{\mathrm d y}} . \]

4、复合函数的求导法则

设 \(y = f(u)\) ，而 \(u = \mathrm g (x)\) 且 \(f(u)\) 及 \(\mathrm g (x)\) 都可导，则复合函数 \(y = f[\mathrm g (x)]\) 的导数为

\[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} \cdot \cfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \quad 或 \quad y'(x) = f'(u) \mathrm{g} '(x) . \]

例 设 \(y = \sin{nx} \cdot \sin^n x\) （\(n\) 为常数），求 \(y'\) .
解首先应用积的求导法则得

\[y' = (\sin{nx})' \cdot \sin^n x + \sin{nx} \cdot (\sin^n x) \]

在计算 \((\sin{nx})'\) 与 \((\sin^n x)'\) 时，都要应用复合函数的求导法则，由此得

\[\begin{align*} y' &= n \cos{nx} \cdot \sin^n x + \sin{nx} \cdot n \sin^{n - 1} x \cdot \cos x \\ &= n \sin^{n - 1} x (\cos{nx} \cdot \sin x + \sin{nx} \cdot \cos x) \\ &= n \sin^{n - 1} x \cdot \sin{(n + 1) x} \end{align*} \]

posted @ 2024-09-14 15:54  暮颜  阅读(59)  评论(0)    收藏  举报