一般地，函数 \(y = f(x)\) 的导数 \(y\ ' = f\ ' (x)\) 仍然是 \(x\) 的函数。我们把 \(y\ ' = f\ ' (x)\) 的导数叫做函数 \(y = f(x)\) 的二阶导数，记作 \(y\ ''\) 或 \(\cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}\) ，即
\[y'' = (y')' \quad 或 \quad \cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = \cfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \cfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}y} \right)
\]
相应地，把 \(y = f(x)\) 的导数 \(f'(x)\) 叫做函数 \(y = f(x)\) 的一阶导数。
类似的，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数 \(\cdots \cdots\) 一般地，\((n - 1)\) 阶导数的导数叫做 \(n\) 阶导数，分别记作
\[y''', y^{(4)}, \cdots , y^{(n)}
\]
或
\[\cfrac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}, \cfrac{\mathrm{d}^4y}{\mathrm{d}x^4}, \cdots , \cfrac{\mathrm{d}^ny}{\mathrm{d}x^n} .
\]
函数 \(y = f(x)\) 具有 \(n\) 阶导数，也常说成函数 \(y = f(x)\) 为 \(n\) 阶可导。如果函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x\) 处具有 \(n\) 阶导数，那么 \(y = f(x)\) 在点 \(x\) 的某一去心邻域内必定具有一切低于 \(n\) 阶的导数。二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。
例 求正弦函数与余弦函数的 \(n\) 阶导数。
解：
\[\begin{align*}
y &= \sin x, \\
y' &= \cos x = \sin{\left( x + \cfrac{\pi}{2} \right)} , \\
y'' &= \cos{\left( x + \cfrac{\pi}{2} \right)} = \sin{\left( x + \cfrac{\pi}{2} + \cfrac{\pi}{2} \right)} = \sin{\left( x + 2 \cdot \cfrac{\pi}{2} \right)}, \\
y''' &= \cos{\left( x + 2 \cdot \cfrac{\pi}{2} \right)} = \sin{\left( x + 3 \cdot \cfrac{\pi}{2} \right)}, \\
y^{(4)} &= \cos{\left( x + 3 \cdot \cfrac{\pi}{2} \right)} = \sin{\left( x + 4 \cdot \cfrac{\pi}{2} \right)},
\end{align*}
\]
一般地，可得
\[y^{(n)} = \sin{\left( x + n \cdot \cfrac{\pi}{2} \right)} ,
\]
即
\[(\sin x)^{(n)} = \sin{\left( x + n \cdot \cfrac{\pi}{2} \right)}
\]
用类似方法，可得
\[(\cos x)^{(n)} = \cos{\left( x + n \cdot \cfrac{\pi}{2} \right)}
\]
例 求函数 \(y = \ln{(1 + x)}\) 的 \(n\) 阶导数。
解：\(y' = \cfrac{1}{1 + x}\) , \(y'' = - \cfrac{1}{(1 + x)^2}\) , \(y''' = \cfrac{1 \cdot 2}{(1 + x)^3}\) , \(y^{(4)} = - \cfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{(1 + x)^4}\) ,
一般地，可得
\[y^{(n)} = (-1)^{n - 1} \cfrac{(n - 1)!}{(1 + x)^n} ,
\]
即
\[[\ln{(1 + x)}]^{(n)} = (-1)^{n - 1} \cfrac{(n - 1)!}{(1 + x)^n}
\]
通常规定 \(0! = 1\) ，所以这个公式当 \(n = 1\) 时也成立。
例 求幂函数的 \(n\) 阶导数公式。
解：设 \(y = x^{\mu} (\mu 是任意常数)\) ，那么
\[\begin{align*}
y' &= \mu x^{\mu - 1} , \\
y'' &= \mu (\mu - 1) x^{\mu - 2} , \\
y''' &= \mu (\mu - 1) (\mu - 2) x^{\mu - 3} , \\
y^{(4)} &= \mu (\mu - 1) (\mu - 2) (\mu - 3) x^{\mu - 4} ,
\end{align*}
\]
一般地，可得
\[y^{(n)} = \mu (\mu - 1) (\mu - 2) \cdots (\mu - n + 1) x^{\mu - n} ,
\]
即
\[(x^{\mu})^{(n)} = \mu (\mu - 1) (\mu - 2) \cdots (\mu - n + 1) x^{\mu - n} .
\]
当 \(\mu = n\) 时，得到
\[(x^{n})^{(n)} = n (n - 1) (n - 2) \cdot \ \cdots \ \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = n! ,
\]
而
\[(x^n)^{(n + k)} = 0 \quad (k = 1, 2, \cdots).
\]
如果函数 \(u = u(x)\) 及 \(v = v(x)\) 都在点 \(x\) 处具有 \(n\) 阶导数，那么显然 \(u(x) \pm v(x)\) 也在点 \(x\) 处具有 \(n\) 阶导数，且
\[(u \pm v)^{(n)} = u^{(n)} \pm v^{(n)} .
\]
但乘积 \(u(x) v(x)\) 的 \(n\) 阶导数不简单。由
\[(uv)' = u' v + u v'
\]
首先得出
\[\begin{align*}
(uv)'' &= u'' v + 2 u' v' + u v'' , \\
(uv)''' &= u''' v + 3 u'' v' + 3 u' v'' + u v''' .
\end{align*}
\]
用数学归纳法可以证明
\[(uv)^{(n)} = u^{(n)} v + n u^{(n - 1)} v' + \cfrac{n (n - 1)}{2!} u^{(n - 2)} v'' + \cdots + \cfrac{n (n - 1) \cdots (n - k + 1)}{k!} u^{(n - k)} v^{(k)} + \cdots + u v^{(n)} .
\]
上式称为莱布尼茨（Leibniz）公式。按二项式定理展开写成
\[(u + v)^n = u^n v^0 + n u^{n - 1} v^1 + \cfrac{n (n - 1)}{2!} u^{n -2} v^2 + \cdots + u^0 v^n ,
\]
即
\[(u + v)^n = \sum_{k = 0}^{n} C_n^k u^{n - k} v^k ,
\]
把 \(k\) 次幂换成 \(k\) 阶导数（零阶导数理解为函数本身），再把左端的 \(u + v\) 换成 \(uv\) ，这样就得到
\[(u v)^n = \sum_{k = 0}^{n} C_n^k u^{(n - k)} v^{(k)} .
\]
例 设 \(y = x^2 \mathrm{e}^{2x}\) ，求 \(y^{(20)}\) 。
解：设 \(u = \mathrm{e}^{2x}\) ， \(v = x^2\) ，则
\[u^{(k)} = 2^k \mathrm{e}^{2x} \quad (k = 1, 2, \cdots , 20) , \\
v' = 2x, \quad v'' = 2, \quad v^{(k)} = 0 \quad (k = 3, 4, \cdots , 20) ,
\]
代入莱布尼茨公式，得
\[\begin{align*}
y^{(20)} &= (x^2 \mathrm{e}^{2x})^{(20)} \\
&= 2^{20} \mathrm{e}^{2x} \cdot x^2 + 20 \cdot 2^{19} \mathrm{e}^{2x} \cdot 2x + \cfrac{20 \cdot 19}{2!} 2^{18} \mathrm{e}^{2x} \cdot 2 \\
&= 2^{20} \mathrm{e}^{2x} (x^2 + 20x +95)
\end{align*}
\]
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