乘 风

摘要： 目录一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数 一、偏导数的定义及其计算法 定义 设函数 \(z=f(x, y)\) 在点 \(\left(x_{0}, y_{0}\right)\) 的某一邻域内有定义，当 \(y\) 固定在 \(y_{0}\) 而 \(x\) 在 \(x_{0}\) 处有增量 \( 阅读全文

摘要： 目录一、平面点集 *\(n\) 维空间1.平面点集*2. \(n\) 维空间二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性 一、平面点集 *\(n\) 维空间 1.平面点集 由平面解析几何知道，当在平面上引入了一个平面直角坐标系后，平面上的点 \(P\) 与有序二元实数组 \((x, y) 阅读全文

摘要： 目录一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程*曲面的参数方程三、空间曲线在坐标平面上的投影 一、空间曲线的一般方程 我们已经知道空间曲线可以看做两个曲面的交线。设 \[F(x, y, z) = 0 \quad 和 \quad G(x, y, z) = 0 \]是两个曲面的方程，则方程组 \[\b 阅读全文

摘要： 在空间解析几何中，关于曲面的研究有下列两个基本问题： （1）已知一曲面作为点的几何轨迹时，建立这曲面的方程； （2）已知坐标 $x, y, z$ 间的一个方程时，研究这方程所表示的曲面的形状。 阅读全文

摘要： 目录一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角 一、空间直线的一般方程 空间直线 \(L\) 可以看做是两个平面 \(\Pi_1\) 和 \(\Pi_2\) 的交线。如果两个相交的平面 \(\Pi_1\) 和 \(\Pi_2\) 的方程分别为 \(A 阅读全文

摘要： 目录一、曲面方程与空间曲线方程的概念二、平面的点法式方程三、平面的一般方程四、两平面的夹角 一、曲面方程与空间曲线方程的概念 如果曲面 \(S\) 与三元方程 \[F(x, y, z) = 0 \tag{3-1} \]有下述关系： （1）曲面 \(S\) 上任意一点的坐标都满足方程 \((3-1)\ 阅读全文

摘要： 目录一、数量积二、向量积三、*混合积 一、数量积 对两个向量做运算 \(\boldsymbol{a}\) 和 \(\boldsymbol{b}\) ，运算结果是一个数，它等于 \(|\boldsymbol{a}|\) ，\(|\boldsymbol{b}|\) 及它们的夹角 \(\theta\) 的 阅读全文

摘要： 目录一、向量的概念向量的线性运算1.向量的加减法2.向量与数的乘法三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影1.向量的模与两点间的距离公式2.方向角与方向余弦3.向量在轴上的投影 一、向量的概念 客观世界中，有这样一类量，它们既有大小，又有方向，这一类量叫做 向量（或 阅读全文

摘要： 在研究某些实际问题时，会遇到由几个微分方程联立起来共同确定几个具有同一自变量的函数的情况。这些联立的微分方程称为微分方程组。 如果微分方程组中的每一个微分方程都是常系数线性微分方程，那么，这种微分方程组就叫做常系数线性微分方程组。 对于常系数线性微分方程组，我们可以用下述的方法求解它： 第一步 从方 阅读全文

摘要： 形如 \[x^n y^{(n)} + p_1 x^{n - 1} y^{(n - 1)} + \cdots + p_{n - 1} x y' + p_n y = f(x) \tag{1} \]的方程（其中 \(p_1,p_2, \cdots, p_n\) 为常数），叫做欧拉方程。 作变换 \(x = 阅读全文

摘要： 目录一、\(f(x) = \mathrm{e}^{\lambda x} P_m(x)\) 型二、\(f(x) = \mathrm{e}^{\lambda x} [P_l (x) \cos \omega x + Q_n (x) \sin \omega x]\) 型 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形 阅读全文

摘要： 在二阶齐次线性微分方程 \[y'' + P(x)y' + Q(x)y = 0 \tag{1} \]中，如果 \(y', y\) 的系数 \(P(x), Q(x)\) 均为常数，即 \((1)\) 式成为 \[y'' + py' + qy = 0 \tag{2} \]其中 \(p, q\) 是常数，那 阅读全文

摘要： 目录一、线性微分方程的解的结构*二、常数变易法 方程 \[\cfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + P(x) \cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + Q(x) = f(x) \tag{1} \]叫做二阶线性微分方程。当方程右端 \( 阅读全文

摘要： 目录一、\(y^{(n)} = f(x)\) 型的微分方程二、\(y'' = f(x, y')\) 型的微分方程三、\(y'' = f(y, y')\) 型的微分方程 一、\(y^{(n)} = f(x)\) 型的微分方程 微分方程 \[y^{(n)} = f(x) \tag{1} \]的右端仅含有 阅读全文

摘要： @目录一、线性方程*二、伯努利方程 一、线性方程 方程 \[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x) y = Q(x) \tag{1} \]叫做一阶线性微分方程，因为它对于未知函数 \(y\) 及其导数是一次方程。如果 \(Q(x) \equiv 0\) ，那么 阅读全文

摘要： 目录一、齐次方程*二、可化为齐次的方程 一、齐次方程 如果一阶微分方程可化成 \[\cfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi \left( \cfrac{y}{x} \right) \tag{1} \]的形式，那么就称这方程为齐次方程。 在齐次方程 \[\c 阅读全文

摘要： 讨论一阶微分方程 \[y' = f(x, y) \tag{1} \]的一些解法。 一阶微分方程有时也写成如下的对称形式： \[P(x, y) \mathrm{d}x + Q(x, y) \mathrm{d}y = 0 \tag{2} \]在方程 \((2)\) 中，变量 \(x\) 与 \(y\) 阅读全文

摘要： 一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程。 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶。 一般地，\(n\) 阶微分方程的形式是 \[F(x, y, y', \cdots, y^{(n)}) = 0 \tag{1} \]这里必须 阅读全文

摘要： 目录一、平面图形的面积1.直角坐标情形2.极坐标情形二、体积1.旋转体体积2.平行截面面积为已知的立体的体积三、平面曲线的弧长 一、平面图形的面积 1.直角坐标情形 我们已经知道，由曲线 \(y = f(x) (f(x) \geqslant 0)\) 及直线 \(x = a, x = b (a < 阅读全文

摘要： 在定积分的应用中，经常采用所谓的元素法。为了说明这种方法，先回顾一下曲边梯形的面积问题。 设 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 上连续且 \(f(x) \geqslant 0\) ，求以曲线 \(y = f(x)\) 为曲边、底为 \([a, b]\) 的曲边梯形的面积 \(A\) 。 阅读全文