定理1 设
（1）当 \(x \to a\) 时，函数 \(f(x)\) 及 \(F(x)\) 都趋于零；
（2）在点 \(a\) 的某去心邻域内，\(f^{'}(x)\) 及 \(F^{'}(x)\) 都存在且 \(F^{'}(x) \neq 0\) ；
（3）\(\lim \limits_{x \to a} \cfrac{f^{'}(x)}{F^{'}(x)}\) 存在（或为无穷大），
则

\[\lim_{x \to a} \cfrac{f(x)}{F(x)} = \lim_{x \to a} \cfrac{f^{'}(x)}{F^{'}(x)} . \]

这就是说。当 \(\lim \limits_{x \to a} \cfrac{f^{'}(x)}{F^{'}(x)}\) 存在时，\(\lim \limits_{x \to a} \cfrac{f(x)}{F(x)}\) 也存在且等于 \(\lim \limits_{x \to a} \cfrac{f^{'}(x)}{F^{'}(x)}\) ；当 \(\lim \limits_{x \to a} \cfrac{f^{'}(x)}{F^{'}(x)}\) 为无穷大时，\(\lim \limits_{x \to a} \cfrac{f(x)}{F(x)}\) 也是无穷大。这种在一定条件下通过分子、分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为 洛必达（L'Hospital）法则 。

洛必达法则的证明见下图：

如果 \(\cfrac{f^{'}(x)}{F^{'}(x)}\) 当 \(x \to a\) 时仍属 \(\cfrac{0}{0}\) 型，且这时 \(f^{'}(x), F^{'}(x)\) 能满足定理中 \(f(x), F(x)\) 所要满足的条件，那么可以继续使用洛必达法则先确定 \(\lim \limits_{x \to a} \cfrac{f^{'}(x)}{F^{'}(x)}\) ，从而确定 \(\lim \limits_{x \to a} \cfrac{f(x)}{F(x)}\) ，即

例1 求 \(\lim \limits_{x \to 0} \cfrac{\sin ax}{\sin bx} (b \neq 0)\) .
解： \(\lim \limits_{x \to 0} \cfrac{\sin ax}{\sin bx} = \lim \limits_{x \to 0} \cfrac{a \cos ax}{b \cos bx} = \cfrac{a}{b}\) .

例2 求 \(\lim \limits_{x \to 1} \cfrac{x^3 - 3x + 2}{x^3 - x^2 - x + 1}\) .
解：\(\lim \limits_{x \to 1} \cfrac{x^3 - 3x + 2}{x^3 - x^2 - x + 1} = \lim \limits_{x \to 1} \cfrac{3x^2 - 3}{3x^2 - 2x - 1} = \lim \limits_{x \to 1} \cfrac{6x}{6x - 2} = \cfrac{3}{2}\) .

注意，上式中的 \(\lim \limits_{x \to 1} \cfrac{6x}{6x - 2}\) 已不是未定式，不能对它应用洛必达法则，否则要导致错误结果。如果不是未定式，那么就不能应用洛必达法则。

例3 求 \(\lim \limits_{x \to 0} \cfrac{x - \sin x}{x^3}\) .
解：\(\lim \limits_{x \to 0} \cfrac{x - \sin x}{x^3} = \lim \limits_{x \to 0} \cfrac{1 - \cos x}{3x^2} = \lim \limits_{x \to 0} \cfrac{\sin x}{6x} = \cfrac{1}{6}\)

我们指出，对于 \(x \to \infty\) 时的未定式 \(\cfrac{0}{0}\) 以及对于 \(x \to a\) 或 \(x \to \infty\) 时的未定式 \(\cfrac{\infty}{\infty}\) ，也有相应的洛必达法则。

定理2 设
（1）当 \(x \to \infty\) 时，函数 \(f(x)\) 及 \(F(x)\) 都趋于零；
（2）当 \(|x| > N\) 时 \(f^{'}(x)\) 及 \(F^{'}(x)\) 都存在且 \(F^{'}(x) \neq 0\) ；
（3）\(\lim \limits_{x \to \infty} \cfrac{f^{'}(x)}{F^{'}(x)}\) 存在（或为无穷大），
则

\[\lim_{x \to \infty} \cfrac{f(x)}{F(x)} = \lim_{x \to \infty} \cfrac{f^{'}(x)}{F^{'}(x)} . \]

例4 求 \(\lim \limits_{x \to +\infty} \cfrac{\frac{\pi}{2} - \arctan x}{\frac{1}{x}}\) .
解：\(\lim \limits_{x \to +\infty} \cfrac{\frac{\pi}{2} - \arctan x}{\frac{1}{x}} = \lim \limits_{x \to +\infty} \cfrac{- \frac{1}{1 - x^2}}{- \frac{1}{x^2}} = \lim \limits_{x \to +\infty} \cfrac{x^2}{1 + x^2} = 1\) .

例5 求 \(\lim \limits_{x \to + \infty} \cfrac{\ln x}{x^n} (n > 0)\) .
解：\(\lim \limits_{x \to + \infty} \cfrac{\ln x}{x^n} = \lim \limits_{x \to + \infty} \cfrac{\frac{1}{x}}{n x^{n - 1}} = \lim \limits_{x \to + \infty} \cfrac{1}{nx^n} = 0\) .

例6 求 \(\lim \limits_{x \to + \infty} \cfrac{x^n}{\mathrm{e}^{\lambda x}} (n为正整数， \lambda > 0)\) .
解：相继应用洛必达法则 \(n\) 次，得

其他还有一些 \(0 \cdot \infty\), \(\infty - \infty\), \(0^0\), \(1^{\infty}\), \(\infty^0\) 型的未定式，也可通过 \(\cfrac{0}{0}\) 或 \(\cfrac{\infty}{\infty}\) 型的未定式来计算。

例7 求 \(\lim \limits_{x \to 0^+} x^n \ln x (n > 0)\) .
解：这是未定式 \(0 \cdot \infty\) 。因为

当 \(x \to 0^+\) 时，上式右端是未定式 \(\cfrac{\infty}{\infty}\) ，应用洛必达法则，得

例8 求 \(\lim \limits_{x \to \frac{\pi}{2}} (\sec x - \tan x)\) .
解：这是未定式 \(\infty - \infty\) 。因为

当 \(x \to \cfrac{\pi}{2}\) 时，上式右端是未定式 \(\cfrac{0}{0}\) ，应用洛必达法则，得

例9 求 \(\lim \limits_{x \to 0^+} x^x\) .
解：这是未定式 \(0^0\) 。设 \(y = x^x\) ，两端取对数得

当 \(x \to 0^+\) 时，上式右端是未定式 \(0 \cdot \infty\) ，应用例7的结果，得

因为 \(y = \mathrm{e}^{\ln y}\) ，而 \(\lim y = \lim \mathrm{e}^{\ln y} = \mathrm{e}^{\lim \ln y} (当 x \to 0^+)\) ，所以

例10 求 \(\lim \limits_{x \to 0} \cfrac{\tan x - x}{x^2 \sin x}\) .
解：如果直接用洛必达法则，那么分母的导数（尤其是高阶导数）较繁，如果做一个等价无穷小替换，那么运算就方便得多。

当满足定理条件时，所求的极限当然存在（或为 \(\infty\)）\(\lim \cfrac{f^{'}(x)}{F^{'}(x)}\) 不存在时（等于无穷大的情况除外），\(\lim \cfrac{f(x)}{F(x)}\) 仍可能存在。