一、函数单调性的判定法

定理1 设函数 \(y = f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，\((a, b)\) 内可导。
（1）如果在 \((a, b)\) 内 \(f^{'}(x) \geqslant 0\) 且等号仅限在有限多个点处成立，那么函数 \(y = f(x)\) 在 \([a, b]\) 上单调增加。
（2）如果在 \((a, b)\) 内 \(f^{'}(x) \leqslant 0\) 且等号仅限在有限多个点处成立，那么函数 \(y = f(x)\) 在 \([a, b]\) 上单调减少。

如果函数 \(y = f(x)\) 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且在区间内只有有限个驻点，那么只要用函数的驻点及导数不存在的点来划分函数 \(y = f(x)\) 的定义区间，就能保证 \(f^{'}(x)\) 在各个部分区间内保持固定符号，因而函数 \(y = f(x)\) 在每个部分区间上单调。

二、曲线的凹凸性与拐点

定义 设 \(y = f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续，如果对 \(I\) 上任意两点 \(x_1, x_2\) 恒有

\[f \left( \cfrac{x_1 + x_2}{2} \right) < \cfrac{f(x_1) + f(x_2)}{2} , \]

那么称 \(y = f(x)\) 在 \(I\) 上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；
如果恒有

\[f \left( \cfrac{x_1 + x_2}{2} \right) > \cfrac{f(x_1) + f(x_2)}{2} , \]

那么称 \(y = f(x)\) 在 \(I\) 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。

如果函数 \(f(x)\) 在 \(I\) 内具有二阶导数，那么可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，这就是下面的曲线凹凸性的判定定理

定理 设函数 \(y = f(x)\) 在 \([a, b]\) 上连续，\((a, b)\) 内具有一阶和二阶导数，那么
（1）若在 \((a, b)\) 内 \(f^{''}(x) > 0\) ，则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的图形是凹的；
（2）若在 \((a, b)\) 内 \(f^{''}(x) < 0\) ，则 \(f(x)\) 在 \([a, b]\) 上的图形是凸的。

一般地，设 \(y = f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续，\(x_0\) 是 \(I\) 内的点。如果曲线 \(y = f(x)\) 在经过点 \((x_0, f(x_0))\) 时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点 \((x_0, f(x_0))\) 为这曲线的拐点。

我们可以按以下步骤来判定区间 \(I\) 上的连续曲线 \(y = f(x)\) 的拐点：
（1）求 \(f^{''} (x)\);
（2）令 \(f^{''} (x) = 0\) ，解出这个方程在区间 \(I\) 内的实根，并求出在区间 \(I\) 内 \(f^{''} (x)\) 不存在的点；
（3）对于（2）中求出的每一个实根或二阶导数不存在的点 \(x_0\) ，检查 \(f^{''} (x)\) 在 \(x_0\) 左、右两侧邻近的符号，那么当两侧符号相反时，点 \((x_0, f(x_0))\) 是拐点，当两侧符号相同时，点 \((x_0, f(x_0))\) 不是拐点。