一、导数的定义

函数在一点处的导数与导函数

定义 设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某个邻域内有定义，当自变量 \(x\) 在 \(x_0\) 处取得增量 \(\Delta x\) （点 \(x_0 + \Delta x\) 仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量 \(\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\) ；如果 \(\Delta y\) 与 \(\Delta x\) 之比当 \(\Delta \to 0\) 时的极限存在，那么称函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导，并称这个极限为函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数，记为 \(f'(x_0)\) ，即

\[f'(x_0) = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \lim \limits_{\Delta x \to 0} \cfrac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} , \tag{1} \]

也可记作 \(\left . y' \right|_ {x = x_0}\) ，\(\left . \cfrac{\mathrm d y}{\mathrm d x} \right|_ {x = x_0}\) ，\(\left . \cfrac{\mathrm d f(x)}{\mathrm d x} \right|_{x \to x_0}\) .

函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导有时也说成 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处具有导数或导数存在。

导数的定义式（1）也可以取不同的形式，常见的有

和

如果极限 （1）不存在就说函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处不可导。如果不可导的原因是由于 \(\Delta x \to 0\) 时，比式 \(\cfrac{\Delta y}{\Delta x} \to \infty\) ，为了方便起见，也往往说函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数为无穷大。

上面讲的是函数在一点处可导。如果函数 \(y = f(x)\) 在开区间 \(I\) 内每点处都可导，那么就称函数 \(y = f(x)\) 在开区间 \(I\) 内可导。这时，对于任一 \(x \in I\) ，都对应着 \(f(x)\) 的一个确定的导数值。这样就构成了一个新的函数，这个函数就叫做原来函数 \(y = f(x)\) 的导函数，记作 \(y'\) ，\(f'(x)\) ，\(\cfrac{\mathrm d y}{\mathrm d x}\) ，\(\cfrac{\mathrm d f(x)}{\mathrm d x}\) 。

在（1）式或（2）式中把 \(x_0\) 换成 \(x\) ，即得导函数的定义式：

或

注意：在以上两式中，虽然 \(x\) 可以取区间 \(I\) 内的任何数值，但在极限过程中，\(x\) 是常量，\(\Delta x\) 或 \(h\) 是变量。

函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数 \(f'(x_0)\) 就是导函数 \(f'(x)\) 在点 \(x = x_0\) 处的函数值，即

导函数 \(f'(x)\) 简称导数，而 \(f'(x_0)\) 是 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的导数或导数 \(f'(x)\) 在点 \(x_0\) 处的值。

单侧导数

根据函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数 \(f'(x_0)\) 的定义，导数

是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此 \(f-(x_0)\) 存在即 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导的充分必要条件是左、右极限

都存在且相等。这两个极限分别称为函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的左导数和右导数，记作 \(f'_- (x_0)\) 及 \(f'_+(x_0)\) ，即

现在可以说，函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 处可导的充分必要条件是左导数 \(f'_- (x_0)\) 及右导数 \(f'_+(x_0)\) 都存在且相等。

左导数和右导数统称为单侧导数。

如果函数 \(f(x)\) 在开区间 \((a, b)\) 内可导，且 \(f'_+(a)\) 及 \(f'_-(b)\) 都存在，那么就说 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上可导。

二、导数的几何意义

函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数 \(f'(x_0)\) 在几何上表示曲线 \(y = f(x)\) 在点 \(M(x_0, f(x_0))\) 处的切线的斜率，即

其中 \(\alpha\) 是切线的倾角。

如果 \(y = f(x)\) 在点 \(x_0\) 处的导数为无穷大，那么这时曲线 \(y = f(x)\) 的割线以垂直于 \(x\) 轴的直线 \(x = x_0\) 为极限位置，即曲线 \(y = f(x)\) 在点 \(M(x_0, f(x_0))\) 处具有垂直于 \(x\) 轴的切线 \(x = x_0\) .

根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线 \(y = f(x)\) 在点 \(M(x_0, y_0)\) 处的切线方程为

过切点 \(M(x_0, f(x_0))\) 且与切线垂直的直线叫做曲线 \(y = f(x)\) 在点 \(M\) 处的法线。如果 \(f'(x_0) \neq 0\) ，法线的斜率为 \(- \cfrac{1}{f'(x_0)}\) ，从而法线方程为

例 求等边双曲线 \(y = \cfrac{1}{x}\) 在点 \(\left( \cfrac{1}{2}, 2 \right)\) 处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。
解：根据导数的几何意义知道，所求切线斜率为

由于 \(y' = \left( \cfrac{1}{x} \right)' = - \cfrac{1}{x^2}\) ，于是

从而所求切线方程为

所求法线斜率为

于是所求法线方程为

例 求曲线 \(y = x^{\frac{3}{2}}\) 的通过点 \((0, -4)\) 的切线方程。
解：设切点为 \((x_0, y_0)\) ，则切线的斜率为

于是所求切线方程可设为

因切点 \((x_0, y_0)\) 在曲线 \(y = x^{\frac{3}{2}}\) 上，所以有

一直切线通过点 \((0, -4)\) ，故有

联立（5）和（6）可解得 \(x_0 = 4, y_0 = 8\) ，代入（4）并化简。得所求切线方程为

三、函数可导性与连续性的关系

设函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x\) 处可导，即

存在。由具有极限的函数与无穷小的关系知道，

其中 \(\alpha\) 为当 \(\Delta x \to 0\) 时的无穷小。上式两边同乘 \(\Delta x\) ，得

由此可见，当 \(\Delta x \to 0\) 时，\(\Delta y \to 0\) .这就是说，函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x\) 处是连续的。

所以，如果函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x\) 处可导，那么函数在该点必连续。
另一方面，一个函数在某点连续却不一定在该点可导。

例 函数 \(y = f(x) = \sqrt[3]{x}\) 在区间 \((- \infty, \infty)\) 内连续，但在点 \(x = 0\) 处不可导。这是因为在点 \(x = 0\) 处有

因而，\(\lim \limits_{h \to 0} \cfrac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim \limits_{h \to 0} \cfrac{1}{h^{\frac{2}{3}}} = + \infty\) ，即导数为无穷大（注意，导数不存在）。这一事实在图形中表现为曲线 \(y = \sqrt[3]{x}\) 在原点 \(O\) 具有垂直于 \(x\) 轴的切线 \(x = 0\) .

例 函数 \(y = \sqrt{x^2}\) （即 \(y = | x |\)）在 \((- \infty, \infty)\) 内连续，但这个函数在 \(x = 0\) 处不可导。曲线 \(y = \sqrt{x^2}\) 在原点 \(O\) 没有切线。

函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。