一、罗尔定理

费马引理 设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 的某邻域 \(U(x_0)\) 内有定义，并且在 \(x_0\) 处可导，如果对任意的 \(x \in U(x_0)\) ，有

\[f(x) \leqslant f(x_0) \quad (或 f(x) \geqslant f(x_0)) , \]

那么 \(f^{'}(x_0) = 0\) .

证明：不妨设 \(x \in U(x_0)\) 时，\(f(x) \leqslant f(x_0)\) （如果 \(f(x) \geqslant f(x_0)\) ，可类似地证明）。于是，对于 \(x_0 + \Delta x \in U(x_0)\) ，有

从而当 \(\Delta x > 0\) 时

当 \(\Delta x < 0\) 时，

根据函数 \(f(x)\) 在点 \(x_0\) 可导的条件及极限的保号性，便得到

所以，\(f^{'}(x_0) = 0\) .证毕。

通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）。

罗尔定理 如果函数 \(f(x)\) 满足
(1) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续;
(2) 在开区间 \((a, b)\) 内可导;
(3) 在区间端点处的函数值相等，即 \(f(a) = f(b)\) ，
那么在 \((a, b)\) 内至少有一点 \(\xi (a < \xi < b)\) ，使得 \(f^{'} (\xi) = 0\) .

证明：由于 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，根据闭区间上连续函数的最大值最小值定理，\(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上必定取得它的最大值 \(M\) 和最小值 \(m\) 。这样，只有两种情形：
（1）\(M = m\) 。这时 \(f(x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上必然取相同的数值 \(M\) ：\(f(x) = M\) 。由此，\(\forall x \in (a, b)\) ，有 \(f^{'}(x) = 0\) 。因此，任取 \(\xi \in (a, b)\) ，有 \(f^{'}(\xi) = 0\) 。
（2）\(M > m\) 。因为 \(f(a) = f(b)\) ，所以 \(M\) 和 \(m\) 这两个数中至少有一个不等于 \(f(x)\) 在区间 \([a, b]\) 的端点处的函数值。为确定起见，不妨设 \(M \neq f(a)\) （如果设 \(m \neq f(a)\) ，证法完全类似），那么必定在开区间 \((a, b)\) 内有一点 \(\xi\) 使 \(f(\xi) = M\) 。因此，\(\forall x \in [a, b]\) ，有 \(f(x) \leqslant f(\xi)\) ，从而由费马引理可知 \(f^{'}(\xi) = 0\) 。
定理证毕。

二、拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理 如果函数 \(f(x)\) 满足
(1) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续;
(2) 在开区间 \((a, b)\) 内可导;
那么在 \((a, b)\) 内至少有一点 \(\xi (a < \xi < b)\) ，使等式

\[f(b) - f(a) = f^{'} (\xi) (b - a) \tag{1} \]

成立。

拉格朗日中值定理的证明 ：
引进辅助函数

容易验证函数 \(\varphi (x)\) 适合罗尔定理的条件：\(\varphi(a) = \varphi(b) = 0\) ，\(\varphi (x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 内可导，且

根据罗尔定理，可知在 \((a, b)\) 内至少有一点 \(\xi\) ，使 \(\varphi^{'}(\xi) = 0\) ，即

由此得

定理证毕。

定理 如果函数 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上连续，\(I\) 内可导且导数恒为零，那么 \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上是一个常数。

证明：在区间 \(I\) 上任取两点 \(x_1, x_2 (x_1 < x_2)\) ，应用 \((1)\) 式就得

由假定，\(f^{'}(\xi) = 0\) ，所以 \(f(x_2) - f(x_1) = 0\) ，即

因为 \(x_1, x_2\) 是 \(I\) 上任意两点，所以上面的等式表明：\(f(x)\) 在 \(I\) 上的函数值总是相等的，这就是说， \(f(x)\) 在区间 \(I\) 上是一个常数。

从上述论证中可以看出，虽然拉格朗日中值定理中的 \(\xi\) 的准确数值不知道，但在这里并不妨碍它的应用。

例题 证明当 \(x > 0\) 时，

证明：设 \(f(t) = \ln{(1 + t)}\) ，显然 \(f(t)\) 在区间 \([0, x]\) 上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理，应有

由于 \(f(0) = 0\) ，\(f^{'}(t) = \cfrac{1}{1 + t}\) ，因此上式即为

又由 \(0 < \xi < x\) ，有

即

三、柯西中值定理

柯西中值定理 如果函数 \(f(x)\) 及 \(F(x)\) 满足
(1) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续;
(2) 在开区间 \((a, b)\) 内可导;
对任一 \(x \in (a,b)\) ，\(F^{'}(x) \neq 0\) ，
那么在 \((a, b)\) 内至少有一点 \(\xi\) ，使等式

\[\cfrac{f(b) - f(a)}{F(b) - F(a)} = \cfrac{f^{'}(\xi)}{F^{'}(\xi)} . \tag{2} \]

证明：首先注意到 \(F(b) - F(a) \neq 0\) 。这是由于

其中 \(a < \eta < b\) ，根据假定 \(F^{'}(\eta) \neq 0\) ，又 \(b - a \neq 0\) ，所以

设辅助函数

显然，\(\varphi (x)\) 在闭区间 \([a, b]\) 上连续，在开区间 \((a, b)\) 内可导，且

故 \(\varphi (x)\) 适合罗尔定理的条件，因此在 \((a, b)\) 内至少有一点 \(\xi\) ，使

由此得

定理证毕。