06 2024 档案
摘要：将不定式极限中的函数进行幂级数展开，再进行计算，必要时可进行等价无穷小量替换. 例1 因为，所以 例2 因为，所以
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摘要：掌握高斯公式，会利用高斯公式对第二型曲面积分和三重积分进行相互转化。掌握右手法则和斯托克斯公式，会利用斯托克斯公式对第二型曲面积分和第二型曲线积分进行相互转化。掌握空间第二型曲线积分与路径无关性的等价条件。 重点习题：例1-例3 卡尔·弗里德里希·高斯 高斯（Johann Carl Friedric
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摘要：掌握曲面侧的概念。掌握第二型曲面积分的定义和计算公式（特别要注意参数方程给出的光滑曲面的计算公式中正负号的选择）。了解两种曲面积分的关系。 重点习题：例1、例2 难点：将第二型曲面积分化为重积分时如何确定正负号。 显性形式时，法线方向与坐标轴正向成锐角时取正号，钝角时取负号。 参数方程时，利用一点定
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摘要：掌握第一型曲面积分的定义和计算公式。 难点：套用第一型曲面积分计算公式后，合理运用坐标变换简化计算。 重点习题：例2、例3
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摘要：掌握利用重积分求曲面面积、质心、转动惯量、引力的方法和公式。 重点习题：例1、例3、例4、例5、例8 难点：套用公式后的具体求解过程中的技巧运用，如坐标变换等。 重点：提前记住曲面S由方程确定时， 曲面S由参数方程确定时，，其中，，.
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摘要：掌握三重积分的定义，以及计算方法（如何将三重积分化为累次极分：穿线法和切片法）。掌握三重积分的换元法（柱面坐标变换和球面坐标变换）。 重点习题：例1、例3、例4-例6 注意：柱面坐标变换适用于积分区域为圆柱或圆柱的一部分，球坐标变换适用于积分区域为球或球的一部分，广义球坐标变换适用于积分区域为椭球或
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摘要：掌握二重积分的变量变换的公式和方法。掌握用极坐标计算二重积分的方法（主要是如何把二重积分在极坐标系下化为累次积分）。 重点习题：例1-例4、例6 难点：変量変换后区域的确定。方法是将区域边界进行变换，新的边界围出来的区域即新的区域。 经典方法：利用极坐标变换将圆或圆的一部分变成矩形，从而简化计算。
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摘要：掌握格林公式及其应用（将第二型曲线积分与二重积分联系起来，在计算时可以相互转化）。掌握单连通区域的概念，以及曲线积分与路径无关的判别和应用。 难点：格林公式中的条件是必需的，否则结论不能成立。注意例2和215页中间一段例子的区别（是否包含原点）。 重点习题：例1-例4 经典方法：将二重积分利用格林公
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摘要：掌握直角坐标系下二重积分的计算公式和将二重积分化为累次积分时的技巧。能够把已知区域表示成x型区域或y型区域。 难点：对于既是x型区域又是y型区域的区域，将二重积分化为累次积分时，正确选取积分顺序，能够大大降低计算难度。 重点习题：例1-例3
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摘要：掌握平面图形面积的定义。掌握二重积分的定义、含义、性质。 难点：利用定义求二重积分。（习题1） 重点习题：习题4、习题5
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摘要：掌握第二型曲线积分的定义和计算公式。了解第一型曲线积分和第二型曲线积分的不同和联系。第一型曲线积分与方向无关，第二型曲线积分与方向有关，改变方向，积分加负号。 注意：在将第二型曲线积分化成定积分时，积分下限为起点对应的参数，积分上限为终点对应的参数。有可能会出现下限大上限小的情况。 难点：利用两类曲
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摘要：掌握第一型曲线积分的定义和计算公式（利用弧微分记忆）。注意：在将第一型曲线积分化成定积分时，积分上下限为从小到大。 难点：利用对称性简化计算过程，如例3。 重点习题：例1-例3
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摘要：了解欧拉积分的定义和其他形式，掌握他们的性质，主要是伽马函数的递推公式，贝塔函数的对称性和递推公式，以及贝塔函数和伽马函数的关系。 难点：利用欧拉积分求定积分。 重点习题：习题1-3 莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家，13岁进巴
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摘要：掌握含参量反常积分的定义和一致收敛的概念及判断方法。掌握含参量反常积分的连续性、可微性、可积性。可以利用含参量反常积分的性质求积分。 难点：1. 判断含参量反常积分的一致收敛性；2. 利用含参量反常积分的性质求积分。 重点习题：例1-例4（判断是否一致收敛） 例5、例7（含参量反常积分的性质）
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摘要：掌握含参量正常积分的定义和连续性、可微性、可积性。可以利用含参量正常积分的性质求极限和积分。 难点：利用含参量正常积分的可微性和积分顺序可交换的性质求积分。 重点习题：例1-例4
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摘要：掌握拉格朗日乘数法，会求条件极值。 难点：拉格朗日乘数法中解方程组。 重点习题：例1、例3
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摘要：会求平面曲线的切线与法线，空间曲线的切线与法平面，以及曲面的切平面与法线。 难点：牢记本节所有公式。 重点习题：例1、例2、例3
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摘要：掌握隐函数组的概念和隐函数组定理，会求隐函数组的偏导数。掌握反函数组定理，会求反函数组的偏导数。 难点：求解隐函数组的偏导数（公式法或直接求偏导数然后解方程组）。 重点习题：例1、例2、例3 卡尔·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi，1804~1851）,德国数学家。1804年
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摘要：掌握隐函数的概念和隐函数存在唯一性定理，会求隐函数的（高阶）导数、（高阶）偏导数和极值。 难点：1. 求高阶导数或高阶偏导数。 2. 求隐函数极值。 重点习题：例1、例2、例4 勒内·笛卡尔（Rene Descartes，公元1596年3月31日—公元1650年2月11日），出生于法国安德尔-卢瓦尔
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摘要：掌握二元函数高阶偏导数的求法，以及二元函数的中值定理和泰勒公式。若混合偏导数连续，则相等。利用泰勒公式进行近似计算。掌握二元函数极值的充分和必要条件，以及求法。掌握例11中最小二乘法。 难点：复合函数的高阶偏导数的计算。极值点与稳定点和最值点的关系。 重点习题：例1、例3、例4、例5、例7、例11
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摘要：掌握三元函数的方向导数与梯度的概念和求法（可微时方向导数的公式），及其意义。 难点：方向导数与偏导数的关系。沿x轴正方向的导数为对x的偏导数，沿y轴正方向的导数为对y的偏导数。负方向加上负号。 重点习题：例1-例3
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摘要：掌握二元函数的复合函数求导法则——链式法则，以及二元函数的一阶微分形式不变性。 链式法则：先对中间变量求偏导数，中间变量再对自变量求偏导数，最后把所有可能加起来。 利用树状图可以更加直观地找到所有可能。 重点习题：例2、例3，例5、例7
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摘要：掌握二元函数全微分和偏导数的定义及求法，以及可微与偏导数之间的关系。掌握可微性的几何意义及利用全微分进行近似计算。 难点：1. 可微、偏导数存在、连续可微之间的关系。可微一定偏导数存在，反之不成立。全微分中的A是x的偏导数，B是对y的偏导数。连续可微一定可微，反之不成立。 2. 可微、连续、偏导数存
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摘要：掌握二元函数连续性的定义及性质，以及有界闭区域上连续函数的性质（最大最小值定理，一致连续性定理、介值性定理）。 注意: 二元函数连续性与函数的定义域有关（见可去间断点定义下面的例子）。 难点：1. 孤立点一定是连续点。聚点是连续点的等价条件是极限值等于函数值。 2. 二元函数对x和y分别连续，不一定
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摘要：掌握二元函数重极限和累次极限的定义及它们的关系，能够求出给定的二元函数重（累次）极限。特别注意例3中判断极限不存在的方法。 难点：1. 重极限定义中要注意（1）必须为聚点 （2）空心邻域 （3）与定义域有关。 2. 用定义证明重极限时选取方邻域还是圆邻域，如例1为方邻域，例2为圆邻域。 3. 利用定
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摘要：掌握平面点集中的相关概念（邻域、内点、外点、界点、聚点、孤立点、开集、闭集、区域、有界点集），能够判断开集，闭集、有界集、区域、及它们的聚点、界点等，以及上的完备性定理（柯西准则、闭域套定理及推论、聚点原理、有界覆盖原理）。掌握二元（多元）函数的概念。 难点：1. 内点、外点、界点、聚点、孤立点的判
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摘要：了解欧拉公式的内容和意义。 复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。 它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里，而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”。 将中的x取作π
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