§2. 第二型曲面积分

掌握曲面侧的概念。掌握第二型曲面积分的定义和计算公式（特别要注意参数方程给出的光滑曲面的计算公式中正负号的选择）。了解两种曲面积分的关系。

重点习题：例1、例2

难点：将第二型曲面积分化为重积分时如何确定正负号。

显性形式时，法线方向与坐标轴正向成锐角时取正号，钝角时取负号。

参数方程时，利用一点定向法。

以下以分别代表曲面S上所选一侧上的法线方向与坐标轴正向间的夹角。

一点定向法则：1. 设S可分为前后两侧，在D上若存在一点使则取正号，否则取负号。

2. 设S可分为左右两侧，在D上若存在一点使则取正号，否则取负号。

3. 设S可分为上下两侧，在D上若存在一点使则取正号，否则取负号。

 

奥古斯特·费迪南德·莫比乌斯, 德国数学家和天文学家。(1790年11月17日-1868年9月26日)

莫比乌斯最著名的成就是发现了三维欧几里德空间中的一种奇特的二维单面环状结构——后人称为莫比乌斯带。其他重要的成就包括在射影几何中引进齐次坐标系、莫比乌斯变换（Moebius Transformations），数论中的莫比乌斯变换（Moebius transform）、莫比乌斯函数、莫比乌斯反演公式（Moebius inversion formula）等。

莫比乌斯最初学法学，1809年转向数学 。从1809年到1814年他在莱比锡大学学数学并获博士学位。1814年在莱比锡任天文学教师 。1815年他获得教授资格，一年后在高斯的推荐下成为特级教授和莱比锡天文台的观测员。1846年他成为王家萨克森科学院建立成员之一。1848年他成为莱比锡天文台台长 。1868年9月26日逝世于莱比锡。

莫比乌斯的父亲约翰·海因里希·莫比乌斯是南姆堡附近一个小镇上的舞蹈教师，他在莫比乌斯三岁时逝世。莫比乌斯的母亲是宗教改革领袖马丁·路德的后裔。他于1820年4月6日结婚，他的夫人多萝西娅原名罗特。两人有一男一女。

 

公元1858年，德国数学家莫比乌斯（Mobius，1790～1868）和约翰·李斯丁发现：把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈，具有魔术般的性质。普通纸带具有两个面（即双侧曲面），一个正面，一个反面，两个面可以涂成不同的颜色；而这样的纸带只有一个面（即单侧曲面），一只小虫可以爬遍整个曲面而不必跨过它的边缘。这种纸带被称为“莫比乌斯带”（也就是说，它的曲面只有一个）。

麦比乌斯圈的概念被广泛地应用到了建筑，艺术，工业生产中。运用麦比乌斯圈原理我们可以建造立交桥和道路，避免车辆行人的拥堵。　

一、1979年，美国著名轮胎公司百路驰创造性地把传送带制成麦比乌斯圈形状，这样一来，整条传送带环面各处均匀地承受磨损，避免了普通传送带单面受损的情况，使得其寿命延长了整整一倍。　

二、针式打印机靠打印针击打色带在纸上留下一个一个的墨点，为充分利用色带的全部表面，色带也常被设计成麦比乌斯圈。　

三、在美国匹兹堡著名肯尼森林游乐园里，就有一部“加强版”的云霄飞车——它的轨道是一个麦比乌斯圈。乘客在轨道的两面上飞驰。　

四、麦比乌斯圈循环往复的几何特征，蕴含着永恒、无限的意义，因此常被用于各类标志设计。微处理器厂商Power Architecture的商标就是一条麦比乌斯圈，甚至垃圾回收标志也是由麦比乌斯圈变化而来。

 

在数学领域中，Klein瓶，即克莱因瓶（德语：Kleinsche Flasche）是指一种无定向性的平面，比如二维平面，就没有“内部”和“外部”之分。克莱因瓶最初的概念提出是由德国数学家菲利克斯·克莱因提出的。克莱因瓶和莫比乌斯带非常相像。

要想像克莱因瓶的结构，可先试想一个底部镂空的红酒瓶。现在延长其颈部，向外扭曲后伸进瓶子的内部，再与底部的洞相连接。

和我们平时用来喝水的杯子不一样，这个物体没有“边”，它的表面不会终结。它也不类似于气球，一只苍蝇可以从瓶子的内部直接飞到外部而不用穿过表面（所以说它没有内外部之分）。

其名称可能源自德语中的“Kleinsche Fläche”（克莱因平面），后来被误解为“Kleinsche Flasche”（克莱因瓶）。德语最终也沿用了“克莱因瓶”这种称呼。

在1882年，著名数学家菲利克斯·克莱因（Felix Klein）发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个像球面那样封闭的（也就是说没有边）曲面，但是它却只有一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就像是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面（即环面）。

从拓扑学角度上看，克莱因瓶可以定义为[0,1] × [0,1]的矩阵，边定义为(0,y) ~ (1,y)，其中0≤y≤1；和(x,0) ~ (1-x,1)，其中0≤x≤1，如图1所示。就像莫比乌斯带一样，克莱因瓶是不可定向的。但是与之不同的是，克莱因瓶是一个闭合的曲面，也就是说它没有边界。莫比乌斯带可以嵌入到三维或更高维的欧几里得空间克莱因瓶只能嵌入到于四维或更高维空间。

 

菲利克斯·克莱因（Felix Christian Klein，1849年4月25日～1925年6月22日），德国数学家，生于德国杜塞多夫。他在埃尔朗根、慕尼黑和莱比锡当过教授，最后到了阿根廷，教授数学。他的主要课题是非欧几何、群论和函数论。他的将各种几何用它们的基础对称群来分类的爱尔兰根纲领的发布影响深远：是当时很多数学的一个综合。 著作有《高观点下的初等数学》，他死于哥廷根。

1885年克莱因被英国皇家学会选为国外会员并被授予科普勒奖金。

1908年克莱因被国际数学会选为在罗马召开的数学家大会主席。

在拓扑学、几何学上有很多贡献。他认识到群论的重要性，把群的概念广泛应用于很多数学分支。在1872年，发表了著名的《埃尔兰根纲领》。他提出了按照在变换群下保持不变的性质，来对几何学加以分类的观点，用群论统一了几何学。对近代几何学的发展有深远的影响，并为狭义相对论的创立准备了条件。1886年以后，长期在哥廷根大学任教，是哥廷根学派全盛时期的杰出代表。他关于数学统一性的观点，对希尔伯特有很大的影响。他还提出，数学应该与实际紧密联系。他组织了许多数学讨论班，通过教学活动使学生对数学的整体得到全面的认识。他在教定理时，只讲证明的梗概，而把证明留给学生自己去完成。他首先倡导改革中等教育的数学内容，对近代数学教育有重要的影响。